底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを底面に平行な面で切断し、円錐Qと立体Aに分割する。円錐PとQの高さの比が4:3のとき、立体Aの体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを底面に平行な面で切断し、円錐Qと立体Aに分割する。円錐PとQの高さの比が4:3のとき、立体Aの体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円錐Pと円錐Qの高さを求める。

円錐Pの高さは12cmで、PとQの高さの比が4:3なので、円錐Qの高さは、

$12 \times \frac{3}{4} = 9$ cm

次に、円錐Qの底面の半径を求める。円錐Qと円錐Pは相似であるから、

円錐Qの底面の半径 : 円錐Pの底面の半径 = 円錐Qの高さ : 円錐Pの高さ

円錐Qの底面の半径 : 8 = 9 : 12

円錐Qの底面の半径 = $8 \times \frac{9}{12} = 6$ cm

円錐Pの体積は、

$V_P = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (8^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (64)(12) = 256\pi$ cm$^3$

円錐Qの体積は、

$V_Q = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2) (9) = \frac{1}{3} \pi (36)(9) = 108\pi$ cm$^3$

立体Aの体積は、円錐Pの体積から円錐Qの体積を引いたものなので、

$V_A = V_P - V_Q = 256\pi - 108\pi = 148\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

$148\pi$ cm$^3$