$n$ が奇数のとき、$n^2 - 1$ が8の倍数であることを証明します。

1. 問題の内容

$n$ が奇数のとき、$n^2 - 1$ が8の倍数であることを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$n$ が奇数であることから、$n$ を整数 $k$ を用いて $n = 2k+1$ と表すことができます。

次に、$n^2 - 1$ に $n = 2k+1$ を代入し、式を整理します。

$n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1$

$= 4k^2 + 4k + 1 - 1$

$= 4k^2 + 4k$

$= 4k(k+1)$

ここで、$k$ または $k+1$ は偶数であるため、$k(k+1)$ は必ず偶数になります。したがって、$k(k+1) = 2m$ となる整数 $m$ が存在します。

$4k(k+1) = 4(2m) = 8m$

これは、$n^2 - 1$ が8の倍数であることを示しています。

3. 最終的な答え

$n$ が奇数のとき、$n^2 - 1$ は8の倍数である。