$n$ が奇数のとき、$n^5 - n$ が120の倍数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$n$ が奇数のとき、$n^5 - n$ が120の倍数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n^5 - n$ を因数分解します。

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$

$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ と表せます。

このとき、

$n - 1 = 2k$

$n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$

$n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k + 1)$

したがって、

$n^5 - n = (2k + 1)(2k)(2k + 2)(2(2k^2 + 2k + 1)) = 8k(k+1)(2k+1)(2k^2+2k+1)$

$n^5 - n = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$ ですが、$n-1$, $n$, $n+1$ は連続する３つの整数なので、これらの積は3の倍数です。また、$n-1$ と $n+1$ は偶数なので、これらの積は4の倍数です。したがって、$n^5 - n$ は $n(n-1)(n+1)$ は 3の倍数かつ4の倍数です。

また、$n$ が奇数の場合、$n-1$ と $n+1$ は連続する偶数なので、どちらか一方は4の倍数になります。したがって、$n^5 - n$ は 8の倍数であることが言えます。

$n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ で、$n$ が奇数であることから、$n = 2k+1$ と表せるので、$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$ となります。

$n^2$ を5で割った余りを考えます。$k$ は整数なので、$k$ を5で割った余りを $r$ とすると、$k=5m+r$, $r \in \{0,1,2,3,4\}$ と表せます。

$n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2-4+5) = n(n-1)(n+1)((n-2)(n+2)+5) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)$

$n-2, n-1, n, n+1, n+2$ は連続する5つの整数なので、少なくとも一つは5の倍数です。したがって、$n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$ は 5の倍数です。

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ なので、$n(n-1)(n+1) = (2k+1)(2k)(2k+2) = 4k(k+1)(2k+1)$

$k(k+1)$ は常に偶数なので、$4k(k+1)(2k+1)$ は8の倍数。また、連続する3つの整数の積なので、3の倍数。

$n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$において、$n$が奇数のとき、$n=2k+1$とおくと、

$n^2+1 = (2k+1)^2+1 = 4k^2+4k+2 = 2(2k^2+2k+1)$

$n^5-n = (2k+1)(2k)(2k+2)(2(2k^2+2k+1)) = 8k(k+1)(2k+1)(2k^2+2k+1)$

$k(k+1)$は2の倍数であるから、$n^5-n$は16の倍数。

$n^5 - n = (n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$. $n-1, n, n+1$ のうち、どれか一つは3の倍数です。また、$n$ が奇数ならば、$n-1$ と $n+1$ は偶数であり、片方は4の倍数なので、$n^5 - n$ は 3の倍数で、8の倍数。

$n^5 - n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$ 。

連続する5つの整数の積$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$は5の倍数。

$5(n-1)n(n+1)$も5の倍数。

$120 = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5$ なので、$n^5 - n$ が 3, 5, 8 の倍数であることを示せばよい。

3. 最終的な答え

$n$ が奇数のとき、$n^5 - n$ は120の倍数である。