正の整数 $N$ を5進法で表すと $abc$ となり、7進法で表すと $cab$ となる。このとき、$a, b, c$ の値と $N$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $N$ を5進法で表すと $abc$ となり、7進法で表すと $cab$ となる。このとき、$a, b, c$ の値と $N$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$abc$（5進法）と$cab$（7進法）をそれぞれ10進法で表す。

$N = a \times 5^2 + b \times 5^1 + c \times 5^0 = 25a + 5b + c$

$N = c \times 7^2 + a \times 7^1 + b \times 7^0 = 49c + 7a + b$

したがって、以下の式が成り立つ。

$25a + 5b + c = 49c + 7a + b$

$18a + 4b = 48c$

$9a + 2b = 24c$

ここで、$a, b, c$ はそれぞれ5進数と7進数の一桁の数字なので、

$a \in \{1, 2, 3, 4\}, b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$9a + 2b = 24c$ より、左辺は偶数なので、$9a$ は偶数でなければならない。したがって、$a$ は偶数である。よって $a = 2$ または $a = 4$ である。

(1) $a = 2$ のとき:

$18 + 2b = 24c$

$9 + b = 12c$

$b = 12c - 9$

$c = 1$ のとき、$b = 3$

$c = 2$ のとき、$b = 15$ （不適）

よって、$a = 2, b = 3, c = 1$

(2) $a = 4$ のとき:

$36 + 2b = 24c$

$18 + b = 12c$

$b = 12c - 18$

$c = 1$ のとき、$b = -6$ （不適）

$c = 2$ のとき、$b = 6$ （不適）

$c = 3$ のとき、$b = 18$ （不適）

したがって、$a = 2, b = 3, c = 1$ が唯一の解である。

このとき、$N$ は

$N = 25a + 5b + c = 25 \times 2 + 5 \times 3 + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

$N = 49c + 7a + b = 49 \times 1 + 7 \times 2 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 3, c = 1$

$N = 66$