全体集合$U$を1桁の自然数全体の集合とする。$U$の部分集合$A, B$が、$A \cap B = \{1, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$, $\overline{A \cup B} = \{2, 4, 7\}$を満たすとき、$A$と$B$を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合$U$を1桁の自然数全体の集合とする。$U$の部分集合$A, B$が、$A \cap B = \{1, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$, $\overline{A \cup B} = \{2, 4, 7\}$を満たすとき、$A$と$B$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を求めます。1桁の自然数全体の集合なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$です。

次に、与えられた条件を整理します。

- $A \cap B = \{1, 9\}$：$A$と$B$の両方に含まれる要素は1と9です。

- $\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$：$A$には含まれず、$B$には含まれる要素は6と8です。

- $\overline{A \cup B} = \{2, 4, 7\}$：$A$にも$B$にも含まれない要素は2, 4, 7です。

$A \cup B$の補集合$\overline{A \cup B} = \{2, 4, 7\}$なので、$A \cup B = U - \overline{A \cup B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 7\} = \{1, 3, 5, 6, 8, 9\}$となります。

集合$B$について、$A \cap B = \{1, 9\}$と$\overline{A} \cap B = \{6, 8\}$より、$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{1, 9\} \cup \{6, 8\} = \{1, 6, 8, 9\}$となります。

$A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 8, 9\}$と$B = \{1, 6, 8, 9\}$より、$A = (A \cup B) - B \cup (A \cap B)$なので、$A$は$A \cup B$から$B$の要素を取り除き、さらに$A \cap B$を加えたものなので、$A=(A \cup B) - (B - (A \cap B))=\{1, 3, 5, 6, 8, 9\} -(\{1, 6, 8, 9\} - \{1, 9\})=\{1, 3, 5, 6, 8, 9\} - \{6, 8\} = \{1, 3, 5, 9\}$となります。

3. 最終的な答え

$A = \{1, 3, 5, 9\}$

$B = \{1, 6, 8, 9\}$