自然数 $m, n, k$ に対して、命題「積 $mnk$ は偶数 $\implies$ $m, n, k$ の少なくとも1つは偶数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を判定する。

1. 問題の内容

自然数 $m, n, k$ に対して、命題「積 $mnk$ は偶数 $\implies$ $m, n, k$ の少なくとも1つは偶数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題を $P \implies Q$ とおく。

ここで、$P$: 積 $mnk$ は偶数、$Q$: $m, n, k$ の少なくとも1つは偶数である。

このとき、

* 逆: $Q \implies P$

* 対偶: $\neg Q \implies \neg P$

* 裏: $\neg P \implies \neg Q$

となる。

(1) 逆を求める。

$Q \implies P$ なので、「$m, n, k$ の少なくとも1つは偶数 $\implies$ 積 $mnk$ は偶数」となる。

(2) 対偶を求める。

$\neg Q \implies \neg P$ なので、「$m, n, k$ はすべて奇数 $\implies$ 積 $mnk$ は奇数」となる。

(3) 裏を求める。

$\neg P \implies \neg Q$ なので、「積 $mnk$ は奇数 $\implies$ $m, n, k$ はすべて奇数」となる。

(4) 真偽を判定する。

* 元の命題「積 $mnk$ は偶数 $\implies$ $m, n, k$ の少なくとも1つは偶数」は真である。なぜなら、$mnk$ が偶数であるためには、$m, n, k$ のうち少なくとも1つが偶数でなければならないからである。

* 逆「$m, n, k$ の少なくとも1つは偶数 $\implies$ 積 $mnk$ は偶数」は真である。なぜなら、$m, n, k$ のうち少なくとも1つが偶数ならば、積 $mnk$ は必ず偶数になるからである。

* 対偶「$m, n, k$ はすべて奇数 $\implies$ 積 $mnk$ は奇数」は真である。これは、元の命題が真であることと同値である。

* 裏「積 $mnk$ は奇数 $\implies$ $m, n, k$ はすべて奇数」は真である。なぜなら、$mnk$ が奇数であるためには、$m, n, k$ がすべて奇数でなければならないからである。これは、対偶が真であることと同値である。

3. 最終的な答え

* 逆: $m, n, k$ の少なくとも1つは偶数 $\implies$ 積 $mnk$ は偶数。(真)

* 対偶: $m, n, k$ はすべて奇数 $\implies$ 積 $mnk$ は奇数。(真)

* 裏: 積 $mnk$ は奇数 $\implies$ $m, n, k$ はすべて奇数。(真)