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$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、「$1 + \sqrt{2}$は無理数である」という命題を背理法で証明する。空欄（①〜④）にI〜IVの選択肢を正しい順番で入れる問題。

数論無理数背理法証明
2025/5/21

1. 問題の内容

2\sqrt{2}が無理数であることを用いて、「1+21 + \sqrt{2}は無理数である」という命題を背理法で証明する。空欄（①〜④）にI〜IVの選択肢を正しい順番で入れる問題。

2. 解き方の手順

背理法では、まず結論を否定することから始める。
I. 1+21 + \sqrt{2}が無理数でないと仮定すると、1+21 + \sqrt{2}は有理数である。
次に、1+2=r1 + \sqrt{2} = rと仮定して、2\sqrt{2}について解く。
IV. その有理数をrrとすると、1+2=r1 + \sqrt{2} = rより
2=r−1\sqrt{2} = r - 1
次に、得られたr−1r - 1について考える。
III. rrが有理数ならば、r−1r - 1も有理数であるから。
2\sqrt{2}は有理数である。
II. この式は2\sqrt{2}が無理数であることに矛盾する。
よって、1+21 + \sqrt{2}は無理数である。
したがって、正しい順番はI → IV → III → IIとなる。

3. 最終的な答え

ア. I → IV → III → II

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