$x$ についての2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 2a = 0$ が異なる2つの整数解をもつように、実数 $a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 2a = 0$ が異なる2つの整数解をもつように、実数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 2a = 0$ の解を $x_1, x_2$ とすると、解と係数の関係より、

$$x_1 + x_2 = a$$

$$x_1 x_2 = a^2 - 2a$$

$x_1, x_2$ は整数なので、$a$は整数ではない可能性がある。

$x_1 x_2 = a^2 - 2a = (x_1 + x_2)^2 - 2(x_1 + x_2)$ より、

$$x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2 - 2x_1 - 2x_2 - x_1 x_2 = 0$$

$$x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2 - 2x_1 - 2x_2 = 0$$

両辺に4を掛けて

$$4x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_1 x_2 - 8x_1 - 8x_2 = 0$$

$$(4x_1^2 + 4x_1 x_2 + x_2^2) + 3x_2^2 - 8x_1 - 8x_2 = 0$$

$$(2x_1 + x_2)^2 - 4(2x_1 + x_2) + 3x_2^2 - 4x_2 = 0$$

$$(2x_1 + x_2 - 4)^2 - 16 + 3x_2^2 - 4x_2 = 0$$

$$(2x_1 + x_2 - 4)^2 + 3x_2^2 - 4x_2 - 16 = 0$$

$$(2x_1 + x_2 - 4)^2 = -3x_2^2 + 4x_2 + 16$$

$x_1, x_2$ は整数なので、$(2x_1 + x_2 - 4)^2$ は非負の整数である。

したがって、$-3x_2^2 + 4x_2 + 16 \geq 0$ を満たす整数 $x_2$ を考える。

$-3x_2^2 + 4x_2 + 16 \geq 0$ を変形して $3x_2^2 - 4x_2 - 16 \leq 0$

$3x_2^2 - 4x_2 - 16 = 0$ の解は $x_2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 192}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{208}}{6} = \frac{4 \pm 4\sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{3}$

$\sqrt{13} \approx 3.6$ なので、$x_2 = \frac{2 \pm 2 \cdot 3.6}{3} = \frac{2 \pm 7.2}{3}$

$x_2 \approx \frac{9.2}{3} \approx 3.1$ および $x_2 \approx \frac{-5.2}{3} \approx -1.7$

$3x_2^2 - 4x_2 - 16 \leq 0$ より、$x_2$ の取りうる整数値は $-1, 0, 1, 2, 3$

$x_2 = -1$ のとき、$(2x_1 + x_2 - 4)^2 = (2x_1 - 5)^2 = -3(-1)^2 + 4(-1) + 16 = -3 - 4 + 16 = 9$

$2x_1 - 5 = \pm 3$ より、$2x_1 = 5 \pm 3$ なので、$x_1 = 4$ または $x_1 = 1$

$x_2 = 0$ のとき、$(2x_1 + x_2 - 4)^2 = (2x_1 - 4)^2 = -3(0)^2 + 4(0) + 16 = 16$

$2x_1 - 4 = \pm 4$ より、$2x_1 = 4 \pm 4$ なので、$x_1 = 4$ または $x_1 = 0$

$x_2 = 1$ のとき、$(2x_1 + x_2 - 4)^2 = (2x_1 - 3)^2 = -3(1)^2 + 4(1) + 16 = -3 + 4 + 16 = 17$

$2x_1 - 3 = \pm \sqrt{17}$ なので、$x_1 = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ となり、整数解ではない。

$x_2 = 2$ のとき、$(2x_1 + x_2 - 4)^2 = (2x_1 - 2)^2 = -3(2)^2 + 4(2) + 16 = -12 + 8 + 16 = 12$

$2x_1 - 2 = \pm \sqrt{12}$ なので、$x_1 = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ となり、整数解ではない。

$x_2 = 3$ のとき、$(2x_1 + x_2 - 4)^2 = (2x_1 - 1)^2 = -3(3)^2 + 4(3) + 16 = -27 + 12 + 16 = 1$

$2x_1 - 1 = \pm 1$ より、$2x_1 = 1 \pm 1$ なので、$x_1 = 1$ または $x_1 = 0$

よって、$(x_1, x_2) = (4, -1), (1, -1), (4, 0), (0, 0), (1, 3), (0, 3)$

ただし、$x_1 \neq x_2$ である必要があるので、$(x_1, x_2) = (0, 0)$ は除外する。

$(x_1, x_2) = (4, -1)$ のとき、$a = x_1 + x_2 = 4 - 1 = 3$

$(x_1, x_2) = (1, -1)$ のとき、$a = x_1 + x_2 = 1 - 1 = 0$

$(x_1, x_2) = (4, 0)$ のとき、$a = x_1 + x_2 = 4 + 0 = 4$

$(x_1, x_2) = (1, 3)$ のとき、$a = x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$

$(x_1, x_2) = (0, 3)$ のとき、$a = x_1 + x_2 = 0 + 3 = 3$

$a = 3$ のとき、$x^2 - 3x + 3^2 - 2(3) = x^2 - 3x + 9 - 6 = x^2 - 3x + 3 = 0$

解は $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{2}$ となり、実数解ではない。

$a=0$のとき、$x^2-0x+0^2-2(0) = x^2=0$, $x=0$ となり、異なる2つの整数解を持たない。

$a = 4$ のとき、$x^2 - 4x + 4^2 - 2(4) = x^2 - 4x + 16 - 8 = x^2 - 4x + 8 = 0$

解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2}$ となり、実数解ではない。

元の2次方程式の判別式 $D = a^2 - 4(a^2 - 2a) = a^2 - 4a^2 + 8a = -3a^2 + 8a > 0$ より $a(3a - 8) < 0$ なので、$0 < a < \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

条件を満たす $a$ は存在しない。