与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。3つの漸化式が与えられています。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ (3) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。3つの漸化式が与えられています。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3^n$

(3) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 3$

これは線形漸化式です。特性方程式 $x = 2x + 3$ を解くと、$x = -3$ となります。

したがって、$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$b_n$ は公比2の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$ なので、$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$ となります。

よって、$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$ となります。

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^n}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}$ となります。

特性方程式 $x = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ を解くと、$x = 1$ となります。

$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (b_n - 1)$ と変形できます。

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = \frac{2}{3} c_n$ となり、$c_n$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列です。

$c_1 = b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ なので、$c_n = -\frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} = -\frac{2^n}{3^n}$ となります。

$b_n = c_n + 1 = 1 - \frac{2^n}{3^n}$

よって、$a_n = 3^n b_n = 3^n (1 - \frac{2^n}{3^n}) = 3^n - 2^n$ となります。

(3) $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

特性方程式 $x^2 = 3x + 4$ を解くと、$x^2 - 3x - 4 = 0$ より $(x-4)(x+1) = 0$ となり、$x = 4, -1$ です。

したがって、$a_{n+2} - 4a_{n+1} = -1(a_{n+1} - 4a_n)$ および $a_{n+2} + a_{n+1} = 4(a_{n+1} + a_n)$ となります。

$a_n = c \cdot 4^n + d \cdot (-1)^n$ とおいて、$a_1 = 1, a_2 = 2$ を代入します。

$a_1 = 4c - d = 1$

$a_2 = 16c + d = 2$

これらを解くと、$20c = 3$ より $c = \frac{3}{20}$ であり、$d = 4c - 1 = \frac{12}{20} - 1 = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5}$ となります。

よって、$a_n = \frac{3}{20} \cdot 4^n - \frac{2}{5} \cdot (-1)^n = \frac{3 \cdot 4^n}{20} - \frac{2 \cdot (-1)^n}{5} = \frac{3 \cdot 4^n - 8 \cdot (-1)^n}{20}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n+1} - 3$

(2) $a_n = 3^n - 2^n$

(3) $a_n = \frac{3 \cdot 4^n - 8 \cdot (-1)^n}{20}$