3点$(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$を通る放物線の頂点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

3点$(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$を通る放物線の頂点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線の式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、3つの式を得る。

$(-1, 0)$ より、 $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ (1)

$(5, 0)$ より、 $0 = a(5)^2 + b(5) + c = 25a + 5b + c$ (2)

$(0, -5)$ より、 $-5 = a(0)^2 + b(0) + c = c$ (3)

(3)より、$c = -5$。

(1)に$c=-5$を代入して、$a - b - 5 = 0$, すなわち $a - b = 5$ (4)

(2)に$c=-5$を代入して、$25a + 5b - 5 = 0$, すなわち $25a + 5b = 5$, よって $5a + b = 1$ (5)

(4)と(5)の連立方程式を解く。

(4) + (5) より、$a - b + 5a + b = 5 + 1$, よって $6a = 6$, $a = 1$。

(4)に$a=1$を代入して、$1 - b = 5$, よって $b = -4$。

したがって、放物線の式は $y = x^2 - 4x - 5$ である。

この式を平方完成する。

$y = x^2 - 4x - 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 5 = (x - 2)^2 - 9$

よって、頂点の座標は$(2, -9)$。

3. 最終的な答え

(2, -9)