与えられた回路において、抵抗 $R_1 = 15 \ \Omega$, $R_2 = 10 \ \Omega$, $R_3 = 2 \ \Omega$、電圧源 $E_1 = 30 \ V$, $E_2 = 50 \ V$ のとき、電流 $I_1$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた回路において、抵抗 $R_1 = 15 \ \Omega$, $R_2 = 10 \ \Omega$, $R_3 = 2 \ \Omega$、電圧源 $E_1 = 30 \ V$, $E_2 = 50 \ V$ のとき、電流 $I_1$ を求める。

2. 解き方の手順

キルヒホッフの法則を用いて解く。キルヒホッフの電流則より、

$I_1 = I_3 + I_2$

キルヒホッフの電圧則より、2つの閉回路について以下の方程式が得られる。

閉回路1 (左側のループ):

$E_1 = R_1I_1 + R_3I_3$

$30 = 15I_1 + 2I_3$

閉回路2 (右側のループ):

$E_2 = R_2I_2 - R_3I_3$

$50 = 10I_2 - 2I_3$

$I_3 = I_1 - I_2$を代入し整理する。

$30 = 15I_1 + 2(I_1 - I_2) = 17I_1 - 2I_2$

$50 = 10I_2 - 2(I_1 - I_2) = 12I_2 - 2I_1$

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$17I_1 - 2I_2 = 30$

$-2I_1 + 12I_2 = 50$

2番目の式を6倍して、

$-12I_1 + 72I_2 = 300$

これより、$I_2 = \frac{300+12I_1}{72} = \frac{25+I_1}{6}$が得られる。

これを1番目の式に代入する。

$17I_1 - 2(\frac{25+I_1}{6}) = 30$

$17I_1 - \frac{25+I_1}{3} = 30$

$51I_1 - (25+I_1) = 90$

$50I_1 = 115$

$I_1 = \frac{115}{50} = \frac{23}{10} = 2.3$

3. 最終的な答え

$I_1 = 2.3 \ A$