与えられた回路において、抵抗 $R_1=15\ \Omega$, $R_2=2\ \Omega$, $R_3=10\ \Omega$、電源 $E_1=60\ \text{V}$, $E_2=10\ \text{V}$ のとき、電圧 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた回路において、抵抗 $R_1=15\ \Omega$, $R_2=2\ \Omega$, $R_3=10\ \Omega$、電源 $E_1=60\ \text{V}$, $E_2=10\ \text{V}$ のとき、電圧 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、回路の各部分に流れる電流を仮定します。

$R_1$ に流れる電流を $I_1$、$R_2$ に流れる電流を $I_2$、$R_3$ に流れる電流を $I_3$ とします。

キルヒホッフの法則を用いて連立方程式を立てます。

ループ1 (左側のループ、$E_1$、$R_1$、$V$を含む):

$E_1 - R_1 I_1 - V = 0$

$60 - 15 I_1 - V = 0$

$15 I_1 + V = 60$ ...(1)

ループ2 (中央のループ、$E_2$、$R_2$、$V$を含む):

$E_2 - R_2 I_2 - V = 0$

$10 - 2 I_2 - V = 0$

$2 I_2 + V = 10$ ...(2)

ノードa (上側のノード) において、キルヒホッフの電流則を適用します。

$I_1 + I_2 = I_3$ ...(3)

$R_3$ にかかる電圧は $V$ なので、オームの法則より $I_3 = \frac{V}{R_3}$ となります。

$I_3 = \frac{V}{10}$ ...(4)

(3)と(4)より、$I_1 + I_2 = \frac{V}{10}$ ...(5)

(1)より、$I_1 = \frac{60 - V}{15}$

(2)より、$I_2 = \frac{10 - V}{2}$

これらを(5)に代入すると、

$\frac{60 - V}{15} + \frac{10 - V}{2} = \frac{V}{10}$

両辺に30を掛けると、

$2(60 - V) + 15(10 - V) = 3V$

$120 - 2V + 150 - 15V = 3V$

$270 - 17V = 3V$

$270 = 20V$

$V = \frac{270}{20} = \frac{27}{2} = 13.5$

3. 最終的な答え

$V = 13.5\ \text{V}$