与えられた行列 A を行の基本変形によって行列 B に変形する手順を示す問題です。

## 問題 5.1 の解答

1. 問題の内容

与えられた行列 A を行の基本変形によって行列 B に変形する手順を示す問題です。

2. 解き方の手順

各行列A, Bに対して、行基本変形を行ってAをBに変形します。行基本変形は以下の3つです。

- ある行を定数倍する。

- ある行を別の行に足す（または引く）。

- 2つの行を入れ替える。

**1.**

$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

手順：

1. 1行目を $2/3$ 倍して2行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 7/3 \end{pmatrix}$

2. 2行目を $3/7$ 倍する。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 2行目を $-5$ 倍して1行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. 1行目を $1/3$ 倍する。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = B$

**2.**

$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

手順：

1. 1行目を $-4$ 倍して2行目に 4倍したものを加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 5 & 4 & -3 \\ -18 & -15 & 9 \end{pmatrix}$

この問題は、AからBに変形する方法が一意に定まるとは限りません。

したがって、以下の手順も可能です。

1. 1行目を $1/5$ 倍する。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4/5 & -3/5 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

2. 1行目を $-2$ 倍して2行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4/5 & -3/5 \\ 0 & -3/5 & -9/5 \end{pmatrix}$

3. 2行目を $-5/3$ 倍する。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4/5 & -3/5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

4. 2行目を $-4/5$ 倍して1行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} = B$

**3.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

手順：

1. 1行目を $-4$ 倍して2行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$

2. 1行目を $-1$ 倍して3行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 2行目を $-1/3$ 倍する。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

4. 2行目を $-1$ 倍して3行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

5. 2行目を $-2$ 倍して1行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = B$

**4.**

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

手順：

1. 1行目と2行目を入れ替える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}$

2. 1行目を $-2$ 倍して3行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}$

3. 1行目を $-3$ 倍して4行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

4. 2行目を $-1$ 倍して3行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

5. 2行目を $-1$ 倍して4行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

6. 2行目を $-2$ 倍して1行目に加える。

$A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = B$

3. 最終的な答え

上記の手順を参照してください。各問題ごとに、Aを行基本変形によってBに変形する手順を示しました。