問題は、全体集合 $U$ の部分集合 $A$ と $B$ について、ド・モルガンの法則の一つである $A \cap B = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを、図を用いて確認することです。 図[1]は $\overline{A}$ を、図[2]は $\overline{B}$ を、図[3]は $\overline{A \cup B}$ を表しています。 これらの図を用いて、$ \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} $ を確認します。

1. 問題の内容

問題は、全体集合 $U$ の部分集合 $A$ と $B$ について、ド・モルガンの法則の一つである $A \cap B = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを、図を用いて確認することです。 図[1]は $\overline{A}$ を、図[2]は $\overline{B}$ を、図[3]は $\overline{A \cup B}$ を表しています。

これらの図を用いて、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ を確認します。

2. 解き方の手順

まず、左辺の $\overline{A} \cup \overline{B}$ が表す領域を考えます。$\overline{A}$ は集合 $A$ の補集合であり、$U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。同様に、$\overline{B}$ は集合 $B$ の補集合です。$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合であり、$A$ に含まれないか、または $B$ に含まれない要素の集合です。

次に、右辺の $\overline{A \cap B}$ が表す領域を考えます。$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分であり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。$\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ の補集合であり、$U$ の中で $A \cap B$ に含まれない要素の集合です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を除いた、残りの要素の集合です。

ド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を示すために、$\overline{A} \cup \overline{B}$ と $\overline{A \cap B}$ の領域が一致することを確認します。

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$であることも注意しておきます。

問題文より、図[3]の斜線部分は $\overline{A \cup B}$ であると書かれていますが、これは誤りです。正しい図は$\overline{A \cap B}$です。

図[3]において斜線部は、$A$ と $B$ の共通部分ではない部分を表しています。これは「$A$ に含まれないか、または $B$ に含まれない」という領域と同じです。したがって、図[1]の斜線部分（$\overline{A}$）と図[2]の斜線部分（$\overline{B}$）を合わせた領域は、図[3]の斜線部分（$\overline{A \cap B}$）と同じになります。

3. 最終的な答え

図[1]、図[2]、図[3]を用いて、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$が成り立つことが確認できました。