放物線 $y = x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a - 3b + 9$ の頂点の座標を求め、さらに、この放物線が $x$ 軸と共有点を持たないような自然数 $a, b$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a - 3b + 9$ の頂点の座標を求め、さらに、この放物線が $x$ 軸と共有点を持たないような自然数 $a, b$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線を平方完成して頂点の座標を求めます。

$y = x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a - 3b + 9$

$y = (x^2 - 4ax + 4a^2) - 4a - 3b + 9$

$y = (x - 2a)^2 - 4a - 3b + 9$

したがって、頂点の座標は $(2a, -4a - 3b + 9)$ です。

次に、放物線が $x$ 軸と共有点を持たない条件を考えます。

放物線が $x$ 軸と共有点を持たないということは、判別式 $D$ が $D < 0$ であるか、頂点の $y$ 座標が常に正（または常に負）であるということです。今回は上に凸の放物線なので、頂点のy座標が常に正である必要があります。

$-4a - 3b + 9 > 0$

$4a + 3b < 9$

$a$ と $b$ は自然数なので、$a \geq 1$ かつ $b \geq 1$ です。

$4a + 3b < 9$ を満たす自然数 $a$ と $b$ の組を考えます。

$a = 1$ のとき、$4(1) + 3b < 9$ なので、$3b < 5$ となり、$b < \frac{5}{3}$。$b$ は自然数なので、$b = 1$ となります。

$a = 2$ のとき、$4(2) + 3b < 9$ なので、$3b < 1$ となり、$b < \frac{1}{3}$。この場合、$b$ は自然数なので、解はありません。

$a \geq 3$ では、$4a \geq 12$ となり、$4a + 3b < 9$ を満たす $a, b$ は存在しません。

したがって、$a = 1$ かつ $b = 1$ のときのみ条件を満たします。

3. 最終的な答え

頂点の座標: $(2a, -4a - 3b + 9)$

$a = 1, b = 1$