多項式 $3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x - 1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x - 1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

多項式 $3x^3 - x^2 + ax + 4$ が $3x - 1$ で割り切れるということは、$3x - 1 = 0$ となる $x = \frac{1}{3}$ を多項式に代入すると、多項式の値が 0 になることを意味します。したがって、以下の式が成り立ちます。

$3(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + a(\frac{1}{3}) + 4 = 0$

これを計算して $a$ を求めます。

まず、式を整理します。

$3(\frac{1}{27}) - \frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 4 = 0$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 4 = 0$

$\frac{a}{3} + 4 = 0$

$\frac{a}{3} = -4$

$a = -12$

3. 最終的な答え

$a = -12$