不等式 $5x-3 > x+a$ について、以下の3つの問題に答えます。 (1) 解が $x>2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。 (2) 解が $x=3$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が0となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $5x-3 > x+a$ について、以下の3つの問題に答えます。

(1) 解が $x>2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

(2) 解が $x=3$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が0となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解きます。

$5x - 3 > x + a$

$4x > a + 3$

$x > \frac{a+3}{4}$

(1) 解が $x>2$ となるためには、$\frac{a+3}{4} = 2$ である必要があります。したがって、

$a+3 = 8$

$a = 5$

(2) 解が $x=3$ を含むということは、$3 > \frac{a+3}{4}$ である必要があります。

不等号に＝が含まれるかどうかを検討する必要があります。

$x=3$ が解に含まれるので、$x > \frac{a+3}{4}$ を満たせば良い。よって$3 > \frac{a+3}{4}$となります。

したがって、

$12 > a+3$

$a < 9$

(3) 不等式を満たす最大の整数が0となるためには、$0 < x \le 1$ の範囲に$x$がある必要があります。ただし、$x > \frac{a+3}{4}$であることに注意すると、

$\frac{a+3}{4}$ は0以下でなければなりません。つまり、

$\frac{a+3}{4} \le 0$であり、最大の整数が0になることから、$1 > \frac{a+3}{4}$である必要があります。

すなわち、$\frac{a+3}{4} \le 1$となります。まとめると、

$\frac{a+3}{4} \le 0$ かつ $\frac{a+3}{4} > -1$

$-1 < \frac{a+3}{4} \le 0$

$-4 < a+3 \le 0$

$-7 < a \le -3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$

(2) $a < 9$

(3) $-7 < a \le -3$