$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 3x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 3x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + 3x + 2$ を因数分解すると、$(x+1)(x+2)$ となります。

したがって、$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 3x + 2$ で割り切れるということは、$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $(x+1)$ と $(x+2)$ で割り切れるということです。

すなわち、$x = -1$ と $x = -2$ を代入したとき、それぞれ $0$ になるはずです。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 6 = 0$

$-1 + a - b + 6 = 0$

$a - b = -5$

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 6 = 0$

$-8 + 4a - 2b + 6 = 0$

$4a - 2b = 2$

$2a - b = 1$

2つの式から連立方程式を解きます。

$a - b = -5$

$2a - b = 1$

2つの式を引き算すると、

$(2a - b) - (a - b) = 1 - (-5)$

$a = 6$

$a - b = -5$ に $a = 6$ を代入すると、

$6 - b = -5$

$b = 11$

したがって、$a = 6, b = 11$ です。

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = 11$