$x^3 + ax^2 - 4x - b$ が $x^2 + x - 6$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 - 4x - b$ が $x^2 + x - 6$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^3 + ax^2 - 4x - b$ を $x^2 + x - 6$ で割ったときの余りが0になる条件を考える。

まず、$x^2 + x - 6$ を因数分解すると、$(x+3)(x-2)$ となる。

$x^3 + ax^2 - 4x - b$ が $x^2 + x - 6$ で割り切れるということは、$x+3$ と $x-2$ で割り切れるということである。

したがって、$x = -3$ と $x = 2$ を代入したときに0になる。

$x = -3$ のとき、

$(-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) - b = 0$

$-27 + 9a + 12 - b = 0$

$9a - b = 15$

$x = 2$ のとき、

$(2)^3 + a(2)^2 - 4(2) - b = 0$

$8 + 4a - 8 - b = 0$

$4a - b = 0$

$b = 4a$

$b = 4a$ を $9a - b = 15$ に代入すると、

$9a - 4a = 15$

$5a = 15$

$a = 3$

$a = 3$ を $b = 4a$ に代入すると、

$b = 4(3) = 12$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 12$