## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

(1) $\angle ACB = \angle DAB$ であるとき、線分 $DC$ の長さを求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$D, E$ は辺 $AB$ を3等分する点、$F$ は辺 $AC$ の中点である。線分 $GC$ の長さを求める。

(3) 円錐を母線を2等分する点を通る底面に平行な面で切断し、頂点を含む立体を $P$、含まない立体を $Q$ とする。立体 $P$ と $Q$ の体積の比を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 線分 DC の長さを求める**

$\angle ACB = \angle DAB$ であり、$\angle ABC$ は共通なので、$\triangle ABC \sim \triangle DAB$ である。

相似比は $AB:DB = (AD + DB):DB = (12+16):16 = 28:16 = 7:4$

したがって、$BC:AB = 7:4$より、$BC = \frac{7}{4}AB = \frac{7}{4}(12+16) = \frac{7}{4}(28) = 49$。

$AC:AD = 7:4$より、$AC = \frac{7}{4}AD$

$CD = BC - BD = 49 - 16 = 33$

**(2) 線分 GC の長さを求める**

$AD = DE = EB$ であるから、$AE = 2AD$。

$AF = FC$ であるから、$\triangle AFE$ と $\triangle ABC$ の面積比は、$\frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。

メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot 1 = 1$

$\frac{BG}{GC} = 2$

したがって、$BG = 2GC$ となる。

$BC = BG + GC = 2GC + GC = 3GC$

$GC = \frac{1}{3}BC$

$DF = 4$

$\triangle AF D$ と $\triangle CGB$ は相似である。$\triangle AFD \sim \triangle CGE$

$CG = AF \cdot \frac{BE}{AE} = AC \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}AC$

ここで、$AF = FC$であるから、$\triangle AFD$ と $\triangle FCD$ の面積は等しい。

また、$AD = \frac{1}{3} AB$、$AE = \frac{2}{3} AB$ であるから、

$\triangle AFD$ の面積を $S$ とすると、$\triangle AFE = 2S$。

したがって、$\triangle ABC = 3 \triangle AFE = 3(2S) = 6S$。

$BC = AB = 4+4+4 = 12$であるから、$BE = 8$。

$\triangle BEC = \frac{1}{2} BE \cdot h$, $\triangle ABC = \frac{1}{2} BC \cdot h$

$\triangle BEC = \frac{2}{3} S_{\triangle ABC}$

したがって、$GC = \frac{4}{3}$。

**(3) 立体 P と立体 Q の体積の比を求める**

円錐の高さは $4 + 4 = 8$ cm。

立体 $P$ は、高さが $4$ cm の円錐。

立体 $Q$ は、高さが $8$ cm の円錐から、高さが $4$ cm の円錐を取り除いたもの。

高さの比が $4:8 = 1:2$ であるから、体積比は $1^3:2^3 = 1:8$。

したがって、立体 $P$ の体積を $V_P$ とすると、もとの円錐の体積は $8V_P$。

立体 $Q$ の体積は $V_Q = 8V_P - V_P = 7V_P$。

よって、立体 $P$ と立体 $Q$ の体積の比は $V_P : V_Q = 1:7$。

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3. 最終的な答え

(1) $DC = 33$ cm

(2) $GC = \frac{4}{3}$ cm

(3) 立体 $P$ : 立体 $Q = 1:7$