$k$を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ と $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ がともに実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ と $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ がともに実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式が実数解をもつための条件は、それぞれの判別式が0以上であることです。

まず、1つ目の2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - k) = 9 - 8 + 8k = 1 + 8k$

実数解をもつ条件は $D_1 \ge 0$ なので、

$1 + 8k \ge 0$

$8k \ge -1$

$k \ge -\frac{1}{8}$

次に、2つ目の2次方程式 $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 + k - 3) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 12 = -4k + 12$

実数解をもつ条件は $D_2 \ge 0$ なので、

$-4k + 12 \ge 0$

$-4k \ge -12$

$k \le 3$

したがって、両方の条件を満たす $k$ の範囲は、

$-\frac{1}{8} \le k \le 3$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{8} \le k \le 3$

ツテ：1

ト：8

ナ：3