2次関数 $y = -2x^2 + 4x + a$ の最大値が7となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4x + a$ の最大値が7となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成させます。

$y = -2x^2 + 4x + a$

$y = -2(x^2 - 2x) + a$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a$

$y = -2((x - 1)^2 - 1) + a$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 + a$

この式から、頂点の座標は $(1, 2+a)$ であることがわかります。

また、$x^2$ の係数が負であることから、この2次関数は上に凸なグラフを持ち、頂点で最大値をとります。

問題文より、最大値は7なので、$2+a = 7$ となります。

したがって、$a = 7 - 2$ より、$a = 5$ が求まります。

3. 最終的な答え

$a = 5$