全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$A \subset B$のとき、以下の集合演算の結果を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$A \subset B$のとき、以下の集合演算の結果を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

$A \subset B$は、$A$が$B$の部分集合であることを意味する。つまり、$A$のすべての要素は$B$の要素でもある。

(1) $A \cap B$ は、$A$と$B$の共通部分である。$A \subset B$ なので、$A$のすべての要素は$B$の要素でもある。したがって、$A \cap B = A$。

(2) $A \cup B$ は、$A$と$B$の和集合である。$A \subset B$ なので、$A$のすべての要素は$B$の要素でもある。したがって、$A \cup B = B$。

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$と$B$の補集合($\overline{B}$)の共通部分である。$A \subset B$ なので、$A$のすべての要素は$B$の要素である。したがって、$A$の要素は$\overline{B}$の要素には含まれない。したがって、$A \cap \overline{B} = \emptyset$（空集合）。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = A$

(2) $A \cup B = B$

(3) $A \cap \overline{B} = \emptyset$