減衰振動に関する問題です。 (a) 運動方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - \eta \frac{dx}{dt}$ から、$\eta = 2m\gamma$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ として、以下の2階線形斉次微分方程式を導出し、$\gamma$ の次元を求めます。 $$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0$$ (b) 式(1)の解を $x = e^{-\gamma t} f(t)$ とおき、式(1)を満たすには $\ddot{f} + (\omega_0^2 - \gamma^2) f = 0$ となることを示します。 (c) 粘性抵抗が小さい場合 ($\omega_0 > \gamma$) に、$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ という $\omega_1$ を定義します。$f(t)$ の従う式は単振動の式と同じになります。$x = e^{-\gamma t} f(t)$ の時間変化について一般解を求め、グラフの概形を図示します。 (d) 粘性抵抗が大きい場合 ($\gamma > \omega_0$) に、$f(t)$ の従う式は $\ddot{f} - \sigma^2 f = 0$ となり ($\sigma = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$)、 $f(t) = e^{\sigma t}$ および $f(t) = e^{-\sigma t}$ がこの式を満たすことを示します。運動方程式の一般解が $x(t) = A e^{-(\gamma - \sigma)t} + B e^{-(\gamma + \sigma)t}$ であることを論じ、$x(t)$ のグラフの概形を図示します。 (e) $\gamma = \omega_0$ の場合、$f = at + b$ が解となることを論じ、$x(t)$ のグラフについて概形を図示します。 (f) 粘性抵抗係数 $\eta$ の値に対して、$x(t)$ のグラフの概形は定性的にどのように変化するか、$\omega_0 \geq \gamma$ の範囲と $\gamma > \omega_0$ の場合について論じます。 (g) 式(1)の解を $x = ae^{\lambda t}$ とおき、式(1)を満たすには $\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$ であることを示し、$\lambda$ の解を求めます。 (h) $\omega_0 > \gamma$ の場合について、上記の $\lambda$ に対して得られる $x$ の基本解の線形結合を用いることで、一般解を示し、これが(c)の結果と等しいことを論じます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

減衰振動に関する問題です。

(a) 運動方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - \eta \frac{dx}{dt}$ から、$\eta = 2m\gamma$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ として、以下の2階線形斉次微分方程式を導出し、$\gamma$ の次元を求めます。

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0$$

(b) 式(1)の解を $x = e^{-\gamma t} f(t)$ とおき、式(1)を満たすには $\ddot{f} + (\omega_0^2 - \gamma^2) f = 0$ となることを示します。

(c) 粘性抵抗が小さい場合 ($\omega_0 > \gamma$) に、$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ という $\omega_1$ を定義します。$f(t)$ の従う式は単振動の式と同じになります。$x = e^{-\gamma t} f(t)$ の時間変化について一般解を求め、グラフの概形を図示します。

(d) 粘性抵抗が大きい場合 ($\gamma > \omega_0$) に、$f(t)$ の従う式は $\ddot{f} - \sigma^2 f = 0$ となり ($\sigma = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$)、 $f(t) = e^{\sigma t}$ および $f(t) = e^{-\sigma t}$ がこの式を満たすことを示します。運動方程式の一般解が $x(t) = A e^{-(\gamma - \sigma)t} + B e^{-(\gamma + \sigma)t}$ であることを論じ、$x(t)$ のグラフの概形を図示します。

(e) $\gamma = \omega_0$ の場合、$f = at + b$ が解となることを論じ、$x(t)$ のグラフについて概形を図示します。

(f) 粘性抵抗係数 $\eta$ の値に対して、$x(t)$ のグラフの概形は定性的にどのように変化するか、$\omega_0 \geq \gamma$ の範囲と $\gamma > \omega_0$ の場合について論じます。

(g) 式(1)の解を $x = ae^{\lambda t}$ とおき、式(1)を満たすには $\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$ であることを示し、$\lambda$ の解を求めます。

(h) $\omega_0 > \gamma$ の場合について、上記の $\lambda$ に対して得られる $x$ の基本解の線形結合を用いることで、一般解を示し、これが(c)の結果と等しいことを論じます。

2. 解き方の手順

(a)

運動方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - \eta \frac{dx}{dt}$ を変形します。まず、両辺を $m$ で割ります。

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x - \frac{\eta}{m} \frac{dx}{dt}$$

$\eta = 2m\gamma$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ を代入すると、

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega_0^2 x - 2\gamma \frac{dx}{dt}$$

移項して整理すると、

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0$$

$\gamma$ の次元は、$\frac{dx}{dt}$ の係数であることから、時間の逆数 $[T^{-1}]$ です。

(b)

$x = e^{-\gamma t} f(t)$ を式(1)に代入します。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{d^2x}{dt^2}$ を計算します。

$$\frac{dx}{dt} = -\gamma e^{-\gamma t} f(t) + e^{-\gamma t} \dot{f}(t)$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \gamma^2 e^{-\gamma t} f(t) - 2\gamma e^{-\gamma t} \dot{f}(t) + e^{-\gamma t} \ddot{f}(t)$$

これらを式(1)に代入すると、

$$e^{-\gamma t} \ddot{f}(t) - 2\gamma e^{-\gamma t} \dot{f}(t) + \gamma^2 e^{-\gamma t} f(t) + 2\gamma (e^{-\gamma t} \dot{f}(t) - \gamma e^{-\gamma t} f(t)) + \omega_0^2 e^{-\gamma t} f(t) = 0$$

$e^{-\gamma t}$ で割って整理すると、

$$\ddot{f}(t) + (\omega_0^2 - \gamma^2) f(t) = 0$$

(c)

$\omega_0 > \gamma$ の場合、$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ と定義すると、$f(t)$ の従う式は $\ddot{f} + \omega_1^2 f = 0$ となり、単振動の式と同じになります。

したがって、$f(t)$ の一般解は $f(t) = C_1 \cos(\omega_1 t) + C_2 \sin(\omega_1 t)$ となります。

$x(t) = e^{-\gamma t} f(t)$ より、一般解は

$$x(t) = e^{-\gamma t} (C_1 \cos(\omega_1 t) + C_2 \sin(\omega_1 t))$$

グラフは、減衰しながら振動する関数となります。

(d)

$\gamma > \omega_0$ の場合、$\sigma = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ と定義すると、$f(t)$ の従う式は $\ddot{f} - \sigma^2 f = 0$ となります。

$f(t) = e^{\sigma t}$ を代入すると、$\sigma^2 e^{\sigma t} - \sigma^2 e^{\sigma t} = 0$ となり、解となります。

同様に、$f(t) = e^{-\sigma t}$ を代入すると、$\sigma^2 e^{-\sigma t} - \sigma^2 e^{-\sigma t} = 0$ となり、解となります。

したがって、$f(t)$ の一般解は $f(t) = A e^{\sigma t} + B e^{-\sigma t}$ となります。

$x(t) = e^{-\gamma t} f(t)$ より、一般解は

$$x(t) = A e^{-(\gamma - \sigma)t} + B e^{-(\gamma + \sigma)t}$$

グラフは、指数関数的に減衰する関数の和となります。

(e)

$\gamma = \omega_0$ の場合、$f = at + b$ を $\ddot{f} + (\omega_0^2 - \gamma^2) f = 0$に代入します。

$\ddot{f} = 0$ なので、$(\omega_0^2 - \gamma^2) (at+b) = 0$となります。$\gamma = \omega_0$より、$(\omega_0^2 - \gamma^2) = 0$なので$a$、$b$は任意の値をとることができます。

$x(t) = e^{-\gamma t} f(t)$ より、$x(t) = e^{-\gamma t} (at+b)$となります。

グラフは、$t$が増加するにつれて、$e^{-\gamma t}$により減衰していきます。

(f)

$\omega_0 \geq \gamma$ の場合、減衰振動となり、$\gamma > \omega_0$ の場合、過減衰となります。$\gamma$ が小さいほど振動が大きくなり、$\gamma$ が大きいほど減衰が早くなります。

(g)

$x = ae^{\lambda t}$ を式(1)に代入すると、

$$a\lambda^2 e^{\lambda t} + 2\gamma a\lambda e^{\lambda t} + \omega_0^2 a e^{\lambda t} = 0$$

$ae^{\lambda t}$ で割ると、

$$\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$$

$\lambda$ の解は、解の公式より

$$\lambda = \frac{-2\gamma \pm \sqrt{(2\gamma)^2 - 4\omega_0^2}}{2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$$

(h)

$\omega_0 > \gamma$ の場合、$\lambda = -\gamma \pm i \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = -\gamma \pm i\omega_1$ となります。

したがって、基本解は $e^{(-\gamma + i\omega_1)t}$ と $e^{(-\gamma - i\omega_1)t}$ となります。

線形結合を用いると、一般解は

$$x(t) = C_1 e^{(-\gamma + i\omega_1)t} + C_2 e^{(-\gamma - i\omega_1)t}$$

オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を用いると、

$$x(t) = e^{-\gamma t} (C_1 (\cos(\omega_1 t) + i\sin(\omega_1 t)) + C_2 (\cos(\omega_1 t) - i\sin(\omega_1 t)))$$

$$x(t) = e^{-\gamma t} ((C_1 + C_2) \cos(\omega_1 t) + i(C_1 - C_2) \sin(\omega_1 t))$$

$C_1 + C_2 = A$, $i(C_1 - C_2) = B$ とおくと、

$$x(t) = e^{-\gamma t} (A \cos(\omega_1 t) + B \sin(\omega_1 t))$$

これは(c)の結果と同じです。

3. 最終的な答え

(a) $\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0$、 $\gamma$ の次元は $[T^{-1}]$

(b) $\ddot{f}(t) + (\omega_0^2 - \gamma^2) f(t) = 0$

(c) $x(t) = e^{-\gamma t} (C_1 \cos(\omega_1 t) + C_2 \sin(\omega_1 t))$

(d) $x(t) = A e^{-(\gamma - \sigma)t} + B e^{-(\gamma + \sigma)t}$

(e) $x(t) = e^{-\gamma t} (at+b)$

(f) $\omega_0 \geq \gamma$ の場合、減衰振動。$\gamma > \omega_0$ の場合、過減衰。

(g) $\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$, $\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$

(h) $x(t) = e^{-\gamma t} (A \cos(\omega_1 t) + B \sin(\omega_1 t))$ (これは(c)の結果と同じ)