8人（A, Bを含む）の中から5人を選び、円形のテーブルに着席させる。 (1) AとBがともに含まれる場合の数を求める。 (2) (1)の場合において、AとBが隣り合わない場合の数を求める。

## 解答

1. 問題の内容

8人（A, Bを含む）の中から5人を選び、円形のテーブルに着席させる。

(1) AとBがともに含まれる場合の数を求める。

(2) (1)の場合において、AとBが隣り合わない場合の数を求める。

2. 解き方の手順

**(1) AとBがともに含まれる場合**

* まず、AとBを必ず選ぶので、残りの3人は6人から選ぶことになる。6人から3人を選ぶ組み合わせは、$_6C_3$通り。

* 選んだ5人を円卓に並べる方法は、$(5-1)! = 4!$通り。

よって、AとBがともに含まれる場合の数は、

$_6C_3 \times 4!$通りとなる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$_6C_3 \times 4! = 20 \times 24 = 480$

**(2) AとBが隣り合わない場合**

* まず、(1)で求めたAとBがともに含まれる場合の数から、AとBが隣り合う場合を引くことで、AとBが隣り合わない場合の数を求める。

* AとBが隣り合う場合を考える。AとBをまとめて1つの組と考え、残りの3人と合わせて4つの組を円卓に並べる方法は、$(4-1)! = 3!$通り。

* AとBの並び方は2通りある。

* 残りの3人は6人から選ぶことになる。6人から3人を選ぶ組み合わせは、$_6C_3$通り。

よって、AとBが隣り合う場合の数は、

$_6C_3 \times 3! \times 2$通りとなる。

$_6C_3 \times 3! \times 2 = 20 \times 6 \times 2 = 240$

AとBが隣り合わない場合の数は、

(AとBがともに含まれる場合) - (AとBが隣り合う場合)

$= 480 - 240 = 240$

3. 最終的な答え

(1) 480通り

(2) 240通り