関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ について、曲線 $y = f(x)$ の概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ について、曲線 $y = f(x)$ の概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

曲線の概形を描くには、以下の手順で考えます。

(1) 定義域を確認する。

(2) $f(x)$ の増減を調べる（$f'(x)$を計算する）。

(3) $f(x)$ の凹凸を調べる（$f''(x)$を計算する）。

(4) 極値、変曲点を求める。

(5) 必要に応じて、グラフが漸近線を持つか調べる。

(6) $x \rightarrow \infty$, $x \rightarrow -\infty$ での挙動を調べる。

(7) $x=0$ などの具体的な値を計算する。

(8) グラフを描く。

(1) 定義域はすべての実数です。

(2) $f'(x)$ を計算します。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$f'(x) = (2x+1)'e^x + (2x+1)(e^x)'$

$f'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x$

$f'(x) = (2x+3)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2x+3 = 0$ つまり $x = -\frac{3}{2}$ のときです。

(3) $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = (2x+3)'e^x + (2x+3)(e^x)'$

$f''(x) = 2e^x + (2x+3)e^x$

$f''(x) = (2x+5)e^x$

$f''(x) = 0$ となるのは、$2x+5 = 0$ つまり $x = -\frac{5}{2}$ のときです。

(4) 増減表を書きます。

$x < -\frac{5}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$、$f''(x) < 0$ なので、減少かつ下に凸。

$x = -\frac{5}{2}$ のとき、$f''(x) = 0$

$-\frac{5}{2} < x < -\frac{3}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$、$f''(x) > 0$ なので、減少かつ上に凸。

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、$f'(x) = 0$

$-\frac{3}{2} < x$ のとき、$f'(x) > 0$、$f''(x) > 0$ なので、増加かつ上に凸。

$x = -\frac{3}{2}$ のとき極小値 $f(-\frac{3}{2}) = (2(-\frac{3}{2})+1)e^{-\frac{3}{2}} = (-2)e^{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{e^{3/2}}$

$x = -\frac{5}{2}$ のとき変曲点 $f(-\frac{5}{2}) = (2(-\frac{5}{2})+1)e^{-\frac{5}{2}} = (-4)e^{-\frac{5}{2}} = -\frac{4}{e^{5/2}}$

(5) 漸近線を調べます。

$x \rightarrow \infty$ のとき、$f(x) \rightarrow \infty$

$x \rightarrow -\infty$ のとき、$f(x) \rightarrow 0$ なので、x軸が漸近線です。

(6) $x=0$ のとき、$f(0) = (2\times 0 + 1)e^0 = 1$

(7) 以上の情報を元にグラフを描きます。

グラフは、$x$軸を漸近線とし、$x = -\frac{3}{2}$ で極小値 $-\frac{2}{e^{3/2}}$ をとり、$x = -\frac{5}{2}$ で変曲点 $-\frac{4}{e^{5/2}}$ を持ち、$x=0$で $y=1$ となるような概形となります。

3. 最終的な答え

曲線の概形は、上記の説明の通り。グラフを描くことはできませんので、言葉での説明でご容赦ください。