与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。 (1) 頂点が $x$ 軸上にあり、2点 $(2, 3)$， $(-1, 12)$ を通る放物線の方程式を求めます。 (2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したもので、点 $(2, 8)$ を通り、頂点が放物線 $y = -x^2$ 上にある放物線の方程式を求めます。 (3) 放物線 $y = -2x^2 + 4x - 4$ を $x$ 軸に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に 8、$y$ 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。

(1) 頂点が $x$ 軸上にあり、2点 $(2, 3)$， $(-1, 12)$ を通る放物線の方程式を求めます。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したもので、点 $(2, 8)$ を通り、頂点が放物線 $y = -x^2$ 上にある放物線の方程式を求めます。

(3) 放物線 $y = -2x^2 + 4x - 4$ を $x$ 軸に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に 8、$y$ 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が $x$ 軸上にあるので、放物線の方程式は $y = a(x - p)^2$ と表せます。

この放物線が $(2, 3)$ と $(-1, 12)$ を通るので、次の連立方程式が成り立ちます。

$3 = a(2 - p)^2$

$12 = a(-1 - p)^2$

この2式から $a$ を消去すると、

$\frac{3}{12} = \frac{(2 - p)^2}{(-1 - p)^2}$

$\frac{1}{4} = \frac{(2 - p)^2}{(-1 - p)^2}$

$(-1 - p)^2 = 4(2 - p)^2$

$1 + 2p + p^2 = 4(4 - 4p + p^2)$

$1 + 2p + p^2 = 16 - 16p + 4p^2$

$3p^2 - 18p + 15 = 0$

$p^2 - 6p + 5 = 0$

$(p - 1)(p - 5) = 0$

よって、$p = 1, 5$ です。

$p = 1$ のとき、$3 = a(2 - 1)^2 = a$ より、$a = 3$。 よって、$y = 3(x - 1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3$

$p = 5$ のとき、$3 = a(2 - 5)^2 = 9a$ より、$a = \frac{1}{3}$。よって、$y = \frac{1}{3}(x - 5)^2 = \frac{1}{3}(x^2 - 10x + 25) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{25}{3}$

(2)

$y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したものは、$y = (x - p)^2 - 3(x - p) + 4 + q$ と表せます。

これを整理すると、 $y = x^2 - (2p + 3)x + (p^2 + 3p + 4 + q)$ となります。

頂点の $x$ 座標は $x = \frac{2p + 3}{2} = p + \frac{3}{2}$ です。

頂点の $y$ 座標は $y = (p + \frac{3}{2})^2 - 3(p + \frac{3}{2}) + 4 + q = p^2 + 3p + \frac{9}{4} - 3p - \frac{9}{2} + 4 + q = p^2 - \frac{9}{4} + 4 + q = p^2 + \frac{7}{4} + q$

頂点は $y = -x^2$ 上にあるので、$p^2 + \frac{7}{4} + q = -(p + \frac{3}{2})^2$

$p^2 + \frac{7}{4} + q = -(p^2 + 3p + \frac{9}{4})$

$2p^2 + 3p + \frac{16}{4} + q = 0$

$q = -2p^2 - 3p - 4$

また、点 $(2, 8)$ を通るので、$8 = (2 - p)^2 - 3(2 - p) + 4 + q = 4 - 4p + p^2 - 6 + 3p + 4 + q = p^2 - p + 2 + q$

$q = 6 - p^2 + p$

したがって、$6 - p^2 + p = -2p^2 - 3p - 4$

$p^2 + 4p + 10 = 0$

$p = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-24}}{2} = -2 \pm i\sqrt{6}$

$p$ が実数ではないので、条件を満たす放物線は存在しません。

(3)

$y = -2x^2 + 4x - 4$ を $x$ 軸に関して対称移動すると、 $y = 2x^2 - 4x + 4$

これを $x$ 軸方向に 8、$y$ 軸方向に 4 だけ平行移動すると、

$y - 4 = 2(x - 8)^2 - 4(x - 8) + 4$

$y = 2(x^2 - 16x + 64) - 4x + 32 + 4 + 4 = 2x^2 - 32x + 128 - 4x + 40 = 2x^2 - 36x + 168$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 - 6x + 3$, $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{25}{3}$

(2) 条件を満たす放物線は存在しない

(3) $y = 2x^2 - 36x + 168$