問題は、与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めることです。今回は、以下の2つの関数について $n$ 階導関数を求めます。 4) $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x)$ 5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めることです。今回は、以下の2つの関数について $n$ 階導関数を求めます。

4) $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x)$

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

4) $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x) = 8\sin^2x\cos^2x$

$\sin2x = 2\sin x \cos x$ より、$\sin^22x = 4\sin^2x\cos^2x$

したがって、$f(x) = 2\sin^22x = 2 \cdot \frac{1 - \cos4x}{2} = 1 - \cos4x$

$f'(x) = 4\sin4x$

$f''(x) = 16\cos4x$

$f'''(x) = -64\sin4x$

$f^{(4)}(x) = -256\cos4x$

一般的に、$f^{(n)}(x) = 4^n \left( -\cos\left(4x + \frac{n\pi}{2}\right) \right) = 4^n \cos\left( 4x + \frac{n \pi}{2} + \pi \right)$ if $n$ is odd, and $f^{(n)}(x) = 4^n \cos\left( 4x + \frac{n \pi}{2}\right)$ if $n$ is even. Therefore, $f^{(n)}(x) = 4^n \cos\left( 4x + \frac{n\pi}{2} \right)$.

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$: $12 = A(1)(2)(3) \implies A = 2$

$x = -2$: $12 = B(-1)(1)(2) \implies B = -6$

$x = -3$: $12 = C(-2)(-1)(1) \implies C = 6$

$x = -4$: $12 = D(-3)(-2)(-1) \implies D = -2$

$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$\frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{x+a} \right) = (-1)^n \frac{n!}{(x+a)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = 2(-1)^n \frac{n!}{(x+1)^{n+1}} - 6(-1)^n \frac{n!}{(x+2)^{n+1}} + 6(-1)^n \frac{n!}{(x+3)^{n+1}} - 2(-1)^n \frac{n!}{(x+4)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$

3. 最終的な答え

4) $f^{(n)}(x) = 4^n \cos\left( 4x + \frac{n\pi}{2} \right)$

5) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$