次の曲線と直線およびx軸で囲まれた部分の面積Sを求める問題です。 (1) $y = \sin x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{2}$ (2) $y = \sqrt{x}$, $x = 3$ (3) $y = -\frac{1}{x}$, $x = \frac{e}{2}$, $x = e$

1. 問題の内容

次の曲線と直線およびx軸で囲まれた部分の面積Sを求める問題です。

(1) $y = \sin x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{2}$

(2) $y = \sqrt{x}$, $x = 3$

(3) $y = -\frac{1}{x}$, $x = \frac{e}{2}$, $x = e$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x$ は $x = \frac{\pi}{4}$ から $x = \frac{\pi}{2}$ の範囲で常に正であるため、面積Sは定積分で求められます。

$$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(2) $y = \sqrt{x}$ は $x = 0$ から $x = 3$ の範囲で常に正であるため、面積Sは定積分で求められます。

$$S = \int_{0}^{3} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{3} x^{\frac{1}{2}} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$$

(3) $y = -\frac{1}{x}$ は $x = \frac{e}{2}$ から $x = e$ の範囲で常に負であるため、面積Sは定積分の絶対値で求められます。

$$S = \left| \int_{\frac{e}{2}}^{e} -\frac{1}{x} dx \right| = \left| [-\ln |x|]_{\frac{e}{2}}^{e} \right| = \left| -\ln |e| + \ln |\frac{e}{2}| \right| = \left| -1 + \ln e - \ln 2 \right| = \left| -1 + 1 - \ln 2 \right| = |-\ln 2| = \ln 2$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $2\sqrt{3}$

(3) $\ln 2$