$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin$関数の性質から、任意の $x$ に対して $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ が成り立ちます。

したがって、$x>0$ のとき $-x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq x$ であり、$x<0$ のとき $x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq -x$ となります。

$x \to 0$ のとき、$x \to 0$ かつ $-x \to 0$ であるから、はさみうちの原理より $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$ が成り立ちます。

したがって、

$-|x| \leq x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq |x|$

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$

$\lim_{x \to 0} |x| = 0$

はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

3. 最終的な答え

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