(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ を求めよ。 (3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ を求めよ。

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

$-1 \le \sin x \le 1$ であるから、

$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ かつ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ であるから、

はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x}$

$-1 \le \cos x \le 1$ であるから、

$\frac{1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le -\frac{1}{x}$ ($x < 0$の場合、不等号の向きが変わります)

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ かつ $\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x} = 0$ であるから、

はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos x}{x} = 0$