放物線 $y = x^2 + 3x + 3$ の頂点の座標を求め、関数 $y = x^2 + 3x + 3$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 3x + 3$ の頂点の座標を求め、関数 $y = x^2 + 3x + 3$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + 3x + 3$ を平方完成します。

$y = x^2 + 3x + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ です。

次に、関数 $y = x^2 + 3x + 3$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $-\frac{3}{2}$ なので、区間 $0 \le x \le 2$ には含まれません。

したがって、区間の端点で最大値と最小値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 + 3(0) + 3 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = 2^2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13$

したがって、区間 $0 \le x \le 2$ における最大値は $13$ であり、最小値は $3$ です。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$

最大値は $13$

最小値は $3$