関数 $f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ が与えられ、すべての実数 $x$ に対して $f'(x) = f(x) + xe^{-x}$ が成り立つとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ が与えられ、すべての実数 $x$ に対して $f'(x) = f(x) + xe^{-x}$ が成り立つとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ なので、積の微分公式を用いて

$f'(x) = (2ax+b)e^{-x} + (ax^2+bx+c)(-e^{-x}) = (2ax+b)e^{-x} - (ax^2+bx+c)e^{-x} = (-ax^2+(2a-b)x+b-c)e^{-x}$

次に、与えられた条件 $f'(x) = f(x) + xe^{-x}$ に代入します。

$(-ax^2+(2a-b)x+b-c)e^{-x} = (ax^2+bx+c)e^{-x} + xe^{-x}$

両辺を $e^{-x}$ で割ると、

$-ax^2+(2a-b)x+b-c = ax^2+bx+c + x$

整理すると、

$(-a-a)x^2 + (2a-b-b-1)x + b-c-c = 0$

$-2ax^2 + (2a-2b-1)x + b-2c = 0$

この式がすべての $x$ に対して成り立つためには、各項の係数が0でなければなりません。

したがって、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align} \label{eq:1} -2a &= 0 \\ 2a-2b-1 &= 0 \\ b-2c &= 0 \end{align}

最初の式より、$a=0$ です。

2番目の式に代入すると、

$2(0) - 2b - 1 = 0$

$-2b = 1$

$b = -\frac{1}{2}$

3番目の式に代入すると、

$-\frac{1}{2} - 2c = 0$

$-2c = \frac{1}{2}$

$c = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = -\frac{1}{2}$

$c = -\frac{1}{4}$