問題は2つの極限を求めることです。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{\cos x-1}$

1. 問題の内容

問題は2つの極限を求めることです。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{\cos x-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$について：

$1-\cos x$を$1+\cos x$で分子と分母に掛けることによって、式を簡略化します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+\cos x}$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$と$\lim_{x\to 0} \cos x = 1$であることを使用します。

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+\cos x} = (1)^2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{\cos x-1}$について：

$\cos x - 1$を$\cos x + 1$で分子と分母に掛けることによって、式を簡略化します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{\cos x-1} = \lim_{x\to 0} \frac{x\sin x(\cos x + 1)}{(\cos x - 1)(\cos x + 1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x\sin x(\cos x + 1)}{\cos^2 x - 1} = \lim_{x\to 0} \frac{x\sin x(\cos x + 1)}{-\sin^2 x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x(\cos x + 1)}{-\sin^2 x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(\cos x + 1)}{-\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{-\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} (\cos x + 1)$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$と$\lim_{x\to 0} \cos x = 1$であることを使用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{-\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} (\cos x + 1) = -1 \cdot (1+1) = -2$

3. 最終的な答え

(1)の答え: $\frac{1}{2}$

(2)の答え: $-2$