1次元の定常熱伝導方程式を解く問題です。与えられた条件は以下の通りです。 * 熱伝導方程式: $k \frac{d^2T(x)}{dx^2} + S = 0$ * 境界条件: $T(0) = 1200$ K, $q(1) = -k \frac{dT}{dx}\Big|_{x=1} = 0$ * $k = 2$ W/(m・K) * $S = 44800e^{-2x} - 8T(x)$ W/m$^3$ 求めたいものは、境界条件を満たす温度分布 $T(x)$ です。

1. 問題の内容

1次元の定常熱伝導方程式を解く問題です。与えられた条件は以下の通りです。

* 熱伝導方程式: $k \frac{d^2T(x)}{dx^2} + S = 0$

* 境界条件: $T(0) = 1200$ K, $q(1) = -k \frac{dT}{dx}\Big|_{x=1} = 0$

* $k = 2$ W/(m・K)

* $S = 44800e^{-2x} - 8T(x)$ W/m$^3$

求めたいものは、境界条件を満たす温度分布 $T(x)$ です。

2. 解き方の手順

まず、熱伝導方程式に与えられた $k$ と $S$ を代入します。

$2 \frac{d^2T(x)}{dx^2} + 44800e^{-2x} - 8T(x) = 0$

整理すると、

$\frac{d^2T(x)}{dx^2} - 4T(x) = -22400e^{-2x}$

斉次方程式 $\frac{d^2T(x)}{dx^2} - 4T(x) = 0$ の特性方程式は $\lambda^2 - 4 = 0$ であり、$\lambda = \pm 2$ を得ます。したがって、斉次解は

$T_h(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$

次に、非斉次方程式の特殊解を求めます。$T_p(x) = Ae^{-2x}$ と仮定すると、

$\frac{d^2T_p(x)}{dx^2} = 4Ae^{-2x}$

したがって、$4Ae^{-2x} - 4Ae^{-2x} = -22400e^{-2x}$ となり、$0 = -22400e^{-2x}$ となってしまいます。

そこで、$T_p(x) = Axe^{-2x}$ と仮定します。

$\frac{dT_p(x)}{dx} = Ae^{-2x} - 2Axe^{-2x}$

$\frac{d^2T_p(x)}{dx^2} = -2Ae^{-2x} - 2Ae^{-2x} + 4Axe^{-2x} = -4Ae^{-2x} + 4Axe^{-2x}$

したがって、$-4Ae^{-2x} + 4Axe^{-2x} - 4Axe^{-2x} = -22400e^{-2x}$

$-4Ae^{-2x} = -22400e^{-2x}$

$A = 5600$

特殊解は $T_p(x) = 5600xe^{-2x}$

一般解は $T(x) = T_h(x) + T_p(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} + 5600xe^{-2x}$

次に、境界条件を適用します。

$T(0) = 1200$ より、$C_1 + C_2 = 1200$

$\frac{dT(x)}{dx} = 2C_1e^{2x} - 2C_2e^{-2x} + 5600e^{-2x} - 11200xe^{-2x}$

$q(1) = -k \frac{dT}{dx}\Big|_{x=1} = 0$ より、$\frac{dT}{dx}\Big|_{x=1} = 0$

$2C_1e^2 - 2C_2e^{-2} + 5600e^{-2} - 11200e^{-2} = 0$

$2C_1e^2 - 2C_2e^{-2} = 5600e^{-2}$

$C_1e^2 - C_2e^{-2} = 2800e^{-2}$

$C_1 = 1200 - C_2$ を代入して

$(1200 - C_2)e^2 - C_2e^{-2} = 2800e^{-2}$

$1200e^2 - C_2e^2 - C_2e^{-2} = 2800e^{-2}$

$C_2(e^2 + e^{-2}) = 1200e^2 - 2800e^{-2}$

$C_2 = \frac{1200e^2 - 2800e^{-2}}{e^2 + e^{-2}}$

$C_1 = 1200 - \frac{1200e^2 - 2800e^{-2}}{e^2 + e^{-2}} = \frac{1200e^2 + 1200e^{-2} - 1200e^2 + 2800e^{-2}}{e^2 + e^{-2}} = \frac{4000e^{-2}}{e^2 + e^{-2}}$

したがって、

$T(x) = \frac{4000e^{-2}}{e^2 + e^{-2}}e^{2x} + \frac{1200e^2 - 2800e^{-2}}{e^2 + e^{-2}}e^{-2x} + 5600xe^{-2x}$

3. 最終的な答え

$T(x) = \frac{4000e^{-2}}{e^2 + e^{-2}}e^{2x} + \frac{1200e^2 - 2800e^{-2}}{e^2 + e^{-2}}e^{-2x} + 5600xe^{-2x}$