右図は、$x$軸の正の向きに進む周期0.20sの正弦波の、時刻$t=0$[s]における波形である。 (1) この正弦波の波長$\lambda$[m]、振動数$f$[Hz]、速さ$v$[m/s]はそれぞれいくらか。 (2) 時刻$t=0$[s]における位置$x$[m]での変位$y$[m]を表す式を書け。 (3) この正弦波が$t$[s]間で進む距離はいくらか。 (4) 位置$x$[m]での時刻$t$[s]における変位$y$[m]を表す式を書け。

1. 問題の内容

右図は、$x$軸の正の向きに進む周期0.20sの正弦波の、時刻$t=0$[s]における波形である。

(1) この正弦波の波長$\lambda$[m]、振動数$f$[Hz]、速さ$v$[m/s]はそれぞれいくらか。

(2) 時刻$t=0$[s]における位置$x$[m]での変位$y$[m]を表す式を書け。

(3) この正弦波が$t$[s]間で進む距離はいくらか。

(4) 位置$x$[m]での時刻$t$[s]における変位$y$[m]を表す式を書け。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、波長$\lambda = 4.0$[m]である。

周期$T = 0.20$[s]より、振動数$f$は、

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.20} = 5.0$[Hz]

速さ$v$は、

$v = f\lambda = 5.0 \times 4.0 = 20$[m/s]

(2)

$t=0$[s]における波形の式を求める。グラフは正弦波であり、$x=0$で$y=0$、$x=1$で$y > 0$であることから、

$y = A\sin(kx)$

ただし、$A$は振幅、$k$は波数である。グラフより、振幅$A = 2.0$[m]である。

波数$k$は、

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4.0} = \frac{\pi}{2}$[rad/m]

したがって、時刻$t=0$[s]における位置$x$[m]での変位$y$[m]を表す式は、

$y = 2.0\sin(\frac{\pi}{2}x)$

(3)

正弦波が$t$[s]間に進む距離$d$は、

$d = vt = 20t$[m]

(4)

位置$x$[m]での時刻$t$[s]における変位$y$[m]を表す式を求める。これは、(2)で求めた波形を(3)で求めた距離だけ平行移動させればよい。

$y = 2.0\sin(\frac{\pi}{2}(x-20t))$

$y = 2.0\sin(\frac{\pi}{2}x - 10\pi t)$

3. 最終的な答え

(1)

波長: 4.0 m

振動数: 5.0 Hz

速さ: 20 m/s

(2)

$y = 2.0\sin(\frac{\pi}{2}x)$

(3)

$20t$ m

(4)

$y = 2.0\sin(\frac{\pi}{2}x - 10\pi t)$