はい、承知いたしました。行列の階段行列と階数を求める問題ですね。一つずつ解いていきましょう。
1. 問題の内容
与えられた行列を簡約化し、階段行列に変形し、その階数を求めます。行列の階数とは、階段行列における0でない行の数です。
2. 解き方の手順
(1)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
6 & 3 & 3 \\
-4 & 1 & 7 \\
1 & 2 & 5
\end{bmatrix}
1行目を3行目と入れ替える：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
-4 & 1 & 7 \\
6 & 3 & 3
\end{bmatrix}
2行目に1行目の4倍を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
0 & 9 & 27 \\
6 & 3 & 3
\end{bmatrix}
3行目から1行目の6倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
0 & 9 & 27 \\
0 & -9 & -27
\end{bmatrix}
3行目に2行目を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
0 & 9 & 27 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
2行目を9で割る：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階段行列となりました。0でない行は2行なので、階数は2です。
(2)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & -1 & -5 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 1
\end{bmatrix}
2行目から1行目の3倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & -7 & -14 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 1
\end{bmatrix}
3行目から1行目を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & -7 & -14 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{bmatrix}
2行目と3行目を入れ替える：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -7 & -14 & 2
\end{bmatrix}
3行目に2行目の7倍を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
階段行列となりました。0でない行は3行なので、階数は3です。
(3)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 3 \\
3 & -4 & 2 \\
-2 & 3 & -1
\end{bmatrix}
1行目と2行目を入れ替える：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 2 \\
3 & -4 & 2 \\
-2 & 3 & -1
\end{bmatrix}
3行目から1行目の3倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & -7 & -7 \\
-2 & 3 & -1
\end{bmatrix}
4行目に1行目の2倍を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & -7 & -7 \\
0 & 5 & 5
\end{bmatrix}
2行目を2で割る：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -7 & -7 \\
0 & 5 & 5
\end{bmatrix}
3行目に2行目の7倍を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 5
\end{bmatrix}
4行目から2行目の5倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階段行列となりました。0でない行は2行なので、階数は2です。
(4)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 4 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 5 & 3 & 4
\end{bmatrix}
1行目を4で割る：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & -1/4 & 3/4 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 5 & 3 & 4
\end{bmatrix}
2行目から1行目を引く：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & -13/4 & 11/4 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 5 & 3 & 4
\end{bmatrix}
4行目から1行目の5倍を引く：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & -13/4 & 11/4 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -12 & 14
\end{bmatrix}
3行目を2で割る：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & -13/4 & 11/4 \\
0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & -12 & 14
\end{bmatrix}
3行目と2行目を入れ替える：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & -13/4 & 11/4 \\
0 & 0 & -12 & 14
\end{bmatrix}
3行目に2行目の13/4倍を加える：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 37/8 \\
0 & 0 & -12 & 14
\end{bmatrix}
4行目に2行目の12倍を加える：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 37/8 \\
0 & 0 & 0 & 20
\end{bmatrix}
4行目から3行目の(20/(37/8))倍を引く。
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 37/8 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階段行列となりました。0でない行は3行なので、階数は3です。
(5)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 4 \\
1 & 5 & 10 & 10
\end{bmatrix}
2行目から1行目を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 4 \\
1 & 5 & 10 & 10
\end{bmatrix}
3行目から1行目を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 5 & 4 \\
1 & 5 & 10 & 10
\end{bmatrix}
4行目から1行目を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 5 & 4 \\
0 & 3 & 9 & 10
\end{bmatrix}
3行目から2行目の2倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 9 & 10
\end{bmatrix}
4行目から2行目の3倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 7
\end{bmatrix}
4行目から3行目の3倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
階段行列となりました。0でない行は4行なので、階数は4です。
(6)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -2 & 0 & 4 \\
3 & 2 & -3 & -1 & 4 \\
-1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{bmatrix}
1行目と3行目を入れ替える：
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & -3 & -1 & 4 \\
2 & 1 & -2 & 0 & 4 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{bmatrix}
1行目を-1倍する：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
3 & 2 & -3 & -1 & 4 \\
2 & 1 & -2 & 0 & 4 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{bmatrix}
2行目から1行目の3倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 10 \\
2 & 1 & -2 & 0 & 4 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{bmatrix}
3行目から1行目の2倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 10 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{bmatrix}
4行目に1行目を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 10 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 2 & 0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
2行目と3行目を入れ替える：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 10 \\
0 & 2 & 0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
3行目から2行目の2倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -2 & -6 \\
0 & 2 & 0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
4行目から2行目の2倍を引く：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -2 & -6 \\
0 & 0 & 0 & -5 & -15
\end{bmatrix}
3行目を-2で割る：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & -5 & -15
\end{bmatrix}
4行目に3行目の5倍を加える：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階段行列となりました。0でない行は3行なので、階数は3です。
3. 最終的な答え
(1) 階段行列：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階数：2
(2) 階段行列：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
階数：3
(3) 階段行列：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階数：2
(4) 階段行列：
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 37/8 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階数：3
(5) 階段行列：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
階数：4
(6) 階段行列：
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
階数：3