2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(1, 1)$ である。

定義域 $4 \le x \le 6$ において、この関数のグラフは下に凸の放物線の一部である。頂点の $x$ 座標である $1$ は定義域に含まれていない。

定義域の端点 $x = 4$ と $x = 6$ における $y$ の値を計算する。

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 1)^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$x = 6$ のとき、$y = (6 - 1)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

$4 \le x \le 6$ において、$x$ が大きくなるほど $y$ の値も大きくなる。したがって、最大値は $x = 6$ のときで、最小値は $x = 4$ のときである。

3. 最終的な答え

最大値: 26 ($x = 6$ のとき)

最小値: 10 ($x = 4$ のとき)