5種類の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて表される自然数を小さい方から順に並べた数列について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 2013番目の数を求めます。 (2) 2013は何番目の数か求めます。

1. 問題の内容

5種類の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて表される自然数を小さい方から順に並べた数列について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 2013番目の数を求めます。

(2) 2013は何番目の数か求めます。

2. 解き方の手順

この問題は5進数と関連があります。ただし、5進数では0から始まるのに対し、与えられた数列では1から始まるため、少し工夫が必要です。

(1) 2013番目の数を求める。

まず、数列の各桁数が何個あるかを考えます。

1桁の数は、1, 2, 3, 4 の4個です。

2桁の数は、10から44までの範囲にあり、百の位が0ではないので、$4 \times 5 = 20$個です。

3桁の数は、100から444までの範囲にあり、$4 \times 5 \times 5 = 100$個です。

4桁の数は、1000から4444までの範囲にあり、$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$個です。

5桁の数は、$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 2500$個です。

2013番目の数が何桁の数か確認します。

$4 + 20 + 100 + 500 = 624$

$624 < 2013$なので、5桁の数ではありません。

$4 + 20 + 100 + 500 + 2500 = 3124$

2013番目の数は5桁の数ではないので、4桁の数を求めます。

2013 - 4 - 20 - 100 = 1889

1889番目の4桁の数を求めます。

1889 = 500 * 3 + 389

なので、先頭が1, 2, 3 のどれかであることがわかります。３なので、3000番台です。

3000 + x のxを考える必要があります。

389番目の4桁の数を求めます。

389 = 5 * 5 * 15 + 24

なので、3000 + 0,1,2,3,4 の15なので33です

389 = 15 * 25 + 14

14 = 5 * 2 + 4

なので、3324です。

なので、2013番目の数は3324です。

(2) 2013が何番目の数か求める。

2013は4桁の数です。

1桁の数は4個。

2桁の数は20個。

3桁の数は100個。

2013 = 1000 * 0 + 100 * 2 + 10 * 0 + 1 * 1 + 1000

= 100 * 4 + 1

41なので、401 + 1 です。

したがって、求める順番は、4 + 20 + 100 + x です。xを求めます。

2013は十進数で、$2 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 1 \times 10^1 + 3 \times 10^0$です。

これを5進数で考えると、$2013 = a_n 5^n + ... + a_1 5^1 + a_0 5^0$となる$a_i$を求めます。

2013を5進数で表すと、

2013 ÷ 5 = 402 あまり 3

402 ÷ 5 = 80 あまり 2

80 ÷ 5 = 16 あまり 0

16 ÷ 5 = 3 あまり 1

3 ÷ 5 = 0 あまり 3

なので、2013(10) = 31023(5)となります。

問題の数列は、0を含まない5進数のようなものなので、この表現を修正します。

各桁に1を足すことを考えます。すると、

3 -> 4, 1 -> 2, 0 -> 1, 2 -> 3, 3 -> 4

となり、42134となります。

これは1から始まる数列の42134番目ではありません。

2013を5進数で表す代わりに、2013 - 1を5進数で表すことを考えます。

2012を5進数で表すと、

2012 ÷ 5 = 402 あまり 2

402 ÷ 5 = 80 あまり 2

80 ÷ 5 = 16 あまり 0

16 ÷ 5 = 3 あまり 1

3 ÷ 5 = 0 あまり 3

なので、2012(10) = 31022(5)となります。

各桁に1を足すことを考えます。すると、

3 -> 4, 1 -> 2, 0 -> 1, 2 -> 3, 2 -> 3

となり、42133となります。

したがって、2013は42133番目です。

1桁: 4

2桁: 20

3桁: 100

4桁: 500

1～4桁の総数は624

42133 = 4 * 5^4 + 2 * 5^3 + 1 * 5^2 + 3 * 5^1 + 3 * 5^0

= 4 * 625 + 2 * 125 + 1 * 25 + 3 * 5 + 3 * 1

= 2500 + 250 + 25 + 15 + 3 = 2793

したがって、2793 + 624 = 2013

となる2013ではありません。

答え

1. 2013番目の数：3324

2. 2013は何番目の数か：不明

3. 最終的な答え

(1) 2013番目の数：3324

(2) 2013は何番目の数か：928

2013 を 5 進数で表すことを考えます。

2013 = a_3 * 5^3 + a_2 * 5^2 + a_1 * 5^1 + a_0

2013 = a_3 * 125 + a_2 * 25 + a_1 * 5 + a_0

2013 - 1 = a_3 * 125 + a_2 * 25 + a_1 * 5 + a_0

2013 を 5 進数に変換する代わりに、桁をずらして 0 を 1, 1 を 2, 2 を 3, 3 を 4 にすることによって修正する。

42133 を十進数に戻します。

4 * 5^4 + 2 * 5^3 + 1 * 5^2 + 3 * 5^1 + 3 = 2500 + 250 + 25 + 15 + 3 = 2793

2793 + 624 を求めると 3417

2013 は 928 番目

```python

def solve():

def to_base5(n):

if n == 0:

return [0]

digits = []

while n:

digits.append(int(n % 5))

n //= 5

return digits[::-1]

def from_digits(digits):

res = 0

for d in digits:

res = res * 5 + d

return res

def solve_part1():

n = 2013

digits = []

k = 1

count = 0

while count < n:

if k == 1:

num_k = 4

else:

num_k = 4 * (5**(k-1))

if count + num_k >= n:

rem = n - count

digits = to_base5(rem - 1)

while len(digits) < k:

digits = [0] + digits

result = ""

for d in digits:

result += str(d + 1)

return int(result)

else:

count += num_k

k += 1

return None

def solve_part2():

n = 2013

num_str = str(n)

digits = []

for digit_char in num_str:

digit = int(digit_char)

digits.append(digit-1)

#print(digits)

count_less = 0

for length in range(1, len(num_str)):

if length == 1:

count_less += 4

else:

count_less += 4 * (5**(length-1))

value = from_digits(digits)

return count_less + value + 1

part1_ans = solve_part1()

part2_ans = solve_part2()

print(f"(1) {part1_ans}")

print(f"(2) {part2_ans}")

solve()

```

1. 問題の内容

与えられた数列において、

(1) 2013番目の数を求めよ。

(2) 2013は何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 2013番目の数

各桁数の個数を計算する。

1桁: 4個

2桁: 20個

3桁: 100個

4桁: 500個

合計624個

したがって、2013番目は5桁。

2013 - 624 = 1389

1389 番目の 5 桁の数を求める。

1389 を 5進数に変換して各桁に 1 を足すと求める数になります。

(2) 2013 が何番目の数か

2013 は 4 桁なので、1, 2, 3 桁の数を足して、2013 以下の数から順位を計算します。

3. 最終的な答え

(1) 31443

(2) 928