$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ (4) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ簡単にします。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

次に、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を計算します。

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

$x+y = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} + \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$xy = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{49 - 9(5)}{4} = \frac{49 - 45}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

したがって、

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{47}{1} = 47$

次に、$x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = (7)(7^2 - 3(1)) = 7(49-3) = 7(46) = 322$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 47$

(4) $x^3 + y^3 = 322$