$\theta$は鋭角である。$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\cos \theta$の値を求めなさい。ただし、$\cos \theta = \frac{\sqrt{\boxed{①}}}{\boxed{②}}$の形で答える。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角である。$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\cos \theta$の値を求めなさい。ただし、$\cos \theta = \frac{\sqrt{\boxed{①}}}{\boxed{②}}$の形で答える。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

$\sin \theta = \frac{2}{3}$を代入して、$\cos \theta$について解きます。

$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{9} - \frac{4}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{5}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{9}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$です。

したがって、$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$