$\theta$ は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin (90^{\circ} - \theta)$ の値を求めよ。解答の形式は $\sin (90^{\circ} - \theta) = \frac{\sqrt{\boxed{①}}}{\boxed{②}}$ となっている。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin (90^{\circ} - \theta)$ の値を求めよ。解答の形式は $\sin (90^{\circ} - \theta) = \frac{\sqrt{\boxed{①}}}{\boxed{②}}$ となっている。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係から、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が成り立つことを利用する。

$\sin \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、三角関数の性質から、$\sin (90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ が成り立つことを利用する。

したがって、$\sin (90^{\circ} - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ となる。

3. 最終的な答え

$\sin (90^{\circ} - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

①に入るのは $5$

②に入るのは $3$