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$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ である。このとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求める。

代数学三角関数三角恒等式方程式
2025/5/21

1. 問題の内容

0∘≤θ≤180∘0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ のとき、sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} である。このとき、sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta と sin⁡θ−cos⁡θ\sin \theta - \cos \theta の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} の両辺を2乗する。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=(12)2(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2
sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=14\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より
1+2sin⁡θcos⁡θ=141 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}
2sin⁡θcos⁡θ=14−1=−342\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
sin⁡θcos⁡θ=−38\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}
次に、(sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin \theta - \cos \theta)^2 を計算する。
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2\sin \theta \cos \theta
sin⁡θcos⁡θ=−38\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8} を代入する。
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2(−38)=1+34=74(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}
よって、sin⁡θ−cos⁡θ=±74=±72\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}
0∘≤θ≤180∘0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ において、sin⁡θ≥0\sin \theta \geq 0 である。
また、sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} より、cos⁡θ\cos \theta は正または負の値をとることができる。
sin⁡θ−cos⁡θ\sin \theta - \cos \theta の符号を決定するために、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta の範囲を考える。
sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} であり、0∘≤θ≤180∘0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ より、θ\theta は第一象限または第二象限の角である。
sin⁡θ\sin \theta は常に非負であるため、もし cos⁡θ\cos \theta が負であれば、sin⁡θ\sin \theta は 12\frac{1}{2} より大きくなくてはならない。この場合、sin⁡θ>cos⁡θ\sin \theta > \cos \theta となり、sin⁡θ−cos⁡θ>0 \sin \theta - \cos \theta > 0 となる。
もし cos⁡θ\cos \theta が正であれば、sin⁡θ\sin \theta は 12\frac{1}{2} より小さくなくてはならない。この場合、sin⁡θ<cos⁡θ \sin \theta < \cos \theta となり、sin⁡θ−cos⁡θ<0 \sin \theta - \cos \theta < 0 となる。
しかし、sin⁡θcos⁡θ=−38<0\sin \theta \cos \theta = - \frac{3}{8} < 0 より、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta は異符号である。したがって、cos⁡θ\cos \theta は負である。
ゆえに、sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin \theta - \cos \theta > 0 となる。
従って、sin⁡θ−cos⁡θ=72\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2} である。

3. 最終的な答え

sin⁡θcos⁡θ=−38\sin \theta \cos \theta = \frac{-3}{8}
sin⁡θ−cos⁡θ=72\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}

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