第3項が18、第5項が162の等比数列$\{a_n\}$について、以下の問題を解く。 (1) 一般項を求める。 (2) 第7項を求める。 (3) 各項が正のとき、初項から第5項までの和を求める。

1. 問題の内容

第3項が18、第5項が162の等比数列$\{a_n\}$について、以下の問題を解く。

(1) 一般項を求める。

(2) 第7項を求める。

(3) 各項が正のとき、初項から第5項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 一般項を求める。

等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ とおく。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

問題文より、第3項が18、第5項が162であるから、

$a_3 = ar^2 = 18$

$a_5 = ar^4 = 162$

2番目の式を1番目の式で割ると、

$\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{162}{18}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

$r=3$ のとき、$a \cdot 3^2 = 18$ より $a = 2$

$r=-3$ のとき、$a \cdot (-3)^2 = 18$ より $a = 2$

よって、一般項は $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) 第7項を求める。

(1)で求めた一般項より、$a_7$ を求める。

$r=3$ のとき、$a_7 = 2 \cdot 3^{7-1} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458$

$r=-3$ のとき、$a_7 = 2 \cdot (-3)^{7-1} = 2 \cdot (-3)^6 = 2 \cdot 729 = 1458$

いずれの場合も、$a_7 = 1458$

(3) 各項が正のとき、初項から第5項までの和を求める。

各項が正であることから、公比は正である。したがって、$r=3$、$a=2$ である。

初項から第$n$項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

初項から第5項までの和 $S_5$ は、

$S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3-1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) 第7項: 1458

(3) 初項から第5項までの和: 242