与えられた対数方程式 $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を用いて、$\log_9 (4-x)$ の底を3に変換します。底の変換公式は $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

$\log_9 (4-x) = \frac{\log_3 (4-x)}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (4-x)}{2}$

与えられた方程式は次のようになります。

$\log_3 x + \frac{\log_3 (4-x)}{2} = 1$

両辺に2をかけます。

$2\log_3 x + \log_3 (4-x) = 2$

対数の性質 $n \log_a b = \log_a (b^n)$ を用いて、左辺を変形します。

$\log_3 (x^2) + \log_3 (4-x) = 2$

対数の性質 $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ を用いて、左辺をまとめます。

$\log_3 (x^2 (4-x)) = 2$

対数の定義より、

$x^2 (4-x) = 3^2$

$4x^2 - x^3 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9 = 0$

この3次方程式を解きます。因数定理を用いると、$x=-1$が解であることがわかります。

$(-1)^3 - 4(-1)^2 + 9 = -1 - 4 + 9 = 4 \ne 0$

$x=3$を代入してみると

$3^3 - 4(3^2) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0$

よって、$x=3$は解です。

$x^3 - 4x^2 + 9 = (x-3)(x^2-x-3)=0$

$x^2 - x - 3 = 0$を解の公式を用いて解くと

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

ここで、対数の真数条件を確認します。

$x>0$ かつ $4-x>0$、つまり $0 < x < 4$ である必要があります。

$x=3$ はこの条件を満たします。

$x = \frac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2.30$ もこの条件を満たします。

$x = \frac{1-\sqrt{13}}{2} \approx -1.30$ はこの条件を満たしません。

したがって、$x=3$と$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$が解の候補です。

$x=3$のとき、$\log_3 3 + \log_9 (4-3) = 1 + \log_9 1 = 1 + 0 = 1$ で成立します。

$x = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$ のとき, $\log_3 (\frac{1+\sqrt{13}}{2}) + \log_9 (4-\frac{1+\sqrt{13}}{2}) = 1$ が成立します。

3. 最終的な答え

$x = 3, \frac{1+\sqrt{13}}{2}$