$a > 0$ のとき、与えられた各式を $a^k$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、与えられた各式を $a^k$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a^4 \times a^3$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いると、

$a^4 \times a^3 = a^{4+3} = a^7$

(2) $(a^4)^3$

指数の法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を用いると、

$(a^4)^3 = a^{4 \times 3} = a^{12}$

(3) $a^6 \div a^3$

指数の法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いると、

$a^6 \div a^3 = a^{6-3} = a^3$

(4) $a^2 \div a^7$

指数の法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いると、

$a^2 \div a^7 = a^{2-7} = a^{-5}$

(5) $\sqrt{a} \times \sqrt{a}$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = a^1 = a$

(6) $\frac{\sqrt[3]{a}}{a^2}$

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ なので、

$\frac{\sqrt[3]{a}}{a^2} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^2} = a^{\frac{1}{3} - 2} = a^{\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} = a^{-\frac{5}{3}}$

(7) $\sqrt[5]{a^3} \times \sqrt{a}$

$\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$, $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\sqrt[5]{a^3} \times \sqrt{a} = a^{\frac{3}{5}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{6}{10} + \frac{5}{10}} = a^{\frac{11}{10}}$

(8) $(\sqrt[3]{\frac{a}{a}})^4$

$\frac{\sqrt[3]{a}}{a}$ と解釈します。

$(\frac{\sqrt[3]{a}}{a})^4 = (\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a})^4 = (a^{\frac{1}{3} - 1})^4 = (a^{-\frac{2}{3}})^4 = a^{-\frac{8}{3}}$

$\sqrt[3]{\frac{a}{a}}$ と解釈すると、$\sqrt[3]{1}=1=a^0$

問題文の意図的に$(\frac{\sqrt[3]{a}}{a})^4$と解釈して進めます。

(9) $\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt{a} \times \sqrt[5]{a}$

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$, $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}}$ なので、

$\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt{a} \times \sqrt[5]{a} = a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{25}{30} + \frac{15}{30} + \frac{6}{30}} = a^{\frac{46}{30}} = a^{\frac{23}{15}}$

(10) $(\frac{\sqrt{a}}{a})^2 + (\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}})^3$

$(\frac{\sqrt{a}}{a})^2 = (\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a})^2 = (a^{\frac{1}{2} - 1})^2 = (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{-1}$

$(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}})^3 = (\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}})^3 = (a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}})^3 = (a^{-\frac{1}{6}})^3 = a^{-\frac{1}{2}}$

したがって, $(\frac{\sqrt{a}}{a})^2 + (\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}})^3 = a^{-1}+a^{-\frac{1}{2}}$

これは$a^k$の形ではないので問題の意図に反します。問題文に誤りがあると考えられます。

仮に問題が $(\frac{\sqrt{a}}{a})^2 \times (\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}})^3$ であれば、

$a^{-1}\times a^{-\frac{1}{2}}= a^{-\frac{3}{2}}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $a^7$

(2) $a^{12}$

(3) $a^3$

(4) $a^{-5}$

(5) $a$

(6) $a^{-\frac{5}{3}}$

(7) $a^{\frac{11}{10}}$

(8) $a^{-\frac{8}{3}}$

(9) $a^{\frac{23}{15}}$

(10) 問題文に誤りがあるため、$a^k$の形で表現できません.

($(\frac{\sqrt{a}}{a})^2 \times (\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}})^3$ であれば、$a^{-\frac{3}{2}}$)