与えられた等式 $(e_1 + ae_2) \wedge (e_1 + 2e_2 - e_3) = 3 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + b e_2 \wedge e_3$ を満たす $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等式 $(e_1 + ae_2) \wedge (e_1 + 2e_2 - e_3) = 3 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + b e_2 \wedge e_3$ を満たす $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。外積の性質 $e_i \wedge e_i = 0$ および $e_i \wedge e_j = - e_j \wedge e_i$ を利用します。

\begin{align*}

(e_1 + ae_2) \wedge (e_1 + 2e_2 - e_3) &= e_1 \wedge e_1 + 2 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + a e_2 \wedge e_1 + 2a e_2 \wedge e_2 - a e_2 \wedge e_3 \\

&= 0 + 2 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + a e_2 \wedge e_1 + 0 - a e_2 \wedge e_3 \\

&= 2 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 - a e_1 \wedge e_2 - a e_2 \wedge e_3 \\

&= (2-a) e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 - a e_2 \wedge e_3

\end{align*}

したがって、与えられた等式は

$$(2-a) e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 - a e_2 \wedge e_3 = 3 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + b e_2 \wedge e_3$$

となります。両辺の各成分を比較することで、

\begin{align*}

2-a &= 3 \\

-a &= b

\end{align*}

を得ます。最初の式から $a = 2-3 = -1$。したがって、$b = -a = -(-1) = 1$となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 1$