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与えられたブール代数の式を簡略化する問題です。 $f = A \overline{B} \overline{C} \overline{D} + \overline{A} \overline{B} \overline{C} + A \overline{B} D \overline{C} + \overline{A} C + \overline{A} B \overline{C} \overline{D} + A B C \overline{D}$

離散数学ブール代数論理回路論理式簡略化
2025/5/21

1. 問題の内容

与えられたブール代数の式を簡略化する問題です。
f=AB‾C‾D‾+A‾B‾C‾+AB‾DC‾+A‾C+A‾BC‾D‾+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} \overline{D} + \overline{A} \overline{B} \overline{C} + A \overline{B} D \overline{C} + \overline{A} C + \overline{A} B \overline{C} \overline{D} + A B C \overline{D}

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。
f=AB‾C‾D‾+A‾B‾C‾+AB‾C‾D+A‾C+A‾BC‾D‾+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} \overline{D} + \overline{A} \overline{B} \overline{C} + A \overline{B} \overline{C} D + \overline{A} C + \overline{A} B \overline{C} \overline{D} + A B C \overline{D}
ここで、A‾B‾C‾\overline{A} \overline{B} \overline{C}とA‾C\overline{A} Cの項をまとめると、A‾(B‾C‾+C)\overline{A}(\overline{B} \overline{C} + C)となります。
B‾C‾+C=(B‾+C)(C‾+C)=(B‾+C)⋅1=B‾+C\overline{B} \overline{C} + C = (\overline{B} + C)(\overline{C} + C) = (\overline{B} + C) \cdot 1 = \overline{B} + C
したがって、A‾(B‾C‾+C)=A‾(B‾+C)\overline{A}(\overline{B} \overline{C} + C) = \overline{A} (\overline{B} + C)
この結果を利用して、式を書き換えます。
f=AB‾C‾D‾+AB‾C‾D+A‾(B‾+C)+A‾BC‾D‾+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} \overline{D} + A \overline{B} \overline{C} D + \overline{A} (\overline{B} + C) + \overline{A} B \overline{C} \overline{D} + A B C \overline{D}
AB‾C‾D‾A \overline{B} \overline{C} \overline{D}とAB‾C‾DA \overline{B} \overline{C} Dの項をまとめると、AB‾C‾(D‾+D)=AB‾C‾⋅1=AB‾C‾A \overline{B} \overline{C} (\overline{D} + D) = A \overline{B} \overline{C} \cdot 1 = A \overline{B} \overline{C}となります。
f=AB‾C‾+A‾B‾+A‾C+A‾BC‾D‾+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} + \overline{A} \overline{B} + \overline{A} C + \overline{A} B \overline{C} \overline{D} + A B C \overline{D}
次に、A‾BC‾D‾\overline{A} B \overline{C} \overline{D}をA‾B‾\overline{A} \overline{B}に吸収することを考えます。しかし、直接吸収することはできません。
ここで、カルノー図を用いるのが有効ですが、ここではブール代数の性質を用いて簡略化を試みます。
f=AB‾C‾+A‾(B‾+C+BC‾D‾)+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} + \overline{A} (\overline{B} + C + B \overline{C} \overline{D}) + A B C \overline{D}
f=AB‾C‾+A‾(B‾+C+BC‾D‾)+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} + \overline{A} (\overline{B} + C + B \overline{C} \overline{D}) + A B C \overline{D}
B‾+C+BC‾D‾=B‾+C+BD‾\overline{B} + C + B \overline{C} \overline{D} = \overline{B} + C + B \overline{D}
f=AB‾C‾+A‾(B‾+C)+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} + \overline{A} (\overline{B} + C) + A B C \overline{D}
f=AB‾C‾+A‾B‾+A‾C+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} + \overline{A} \overline{B} + \overline{A} C + A B C \overline{D}
この形が最も簡略化された形と思われます。

3. 最終的な答え

f=AB‾C‾+A‾B‾+A‾C+ABCD‾f = A \overline{B} \overline{C} + \overline{A} \overline{B} + \overline{A} C + A B C \overline{D}

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