(1) 不等式 $ax+3 > 2x$ を解く。ただし、$a$ は定数とする。 (2) $a$ を正の定数とする。不等式 $|x-3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど 11 個存在するような $a$ の範囲を求めよ。 (3) 不等式 $0 < x < 1$ ...① と $|x-a| < 2$ ...② とする。① を満たすどのような $x$ についても ② が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。また、① を満たすある $x$ について ② が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $ax+3 > 2x$ を解く。ただし、$a$ は定数とする。

(2) $a$ を正の定数とする。不等式 $|x-3| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど 11 個存在するような $a$ の範囲を求めよ。

(3) 不等式 $0 < x < 1$ ...① と $|x-a| < 2$ ...② とする。① を満たすどのような $x$ についても ② が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。また、① を満たすある $x$ について ② が満たされるとき、実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

不等式 $ax + 3 > 2x$ を解く。

$ax - 2x > -3$

$(a-2)x > -3$

場合分けをする。

(i) $a-2 > 0$ つまり $a > 2$ のとき

$x > \frac{-3}{a-2}$

(ii) $a-2 < 0$ つまり $a < 2$ のとき

$x < \frac{-3}{a-2}$

(iii) $a-2 = 0$ つまり $a = 2$ のとき

$0 \cdot x > -3$

これは常に成り立つので、解はすべての実数。

(2)

不等式 $|x-3| < a$ を解く。

$-a < x-3 < a$

$3-a < x < 3+a$

これを満たす整数 $x$ がちょうど 11 個存在する。

$x$ は整数なので、$3-a$ より大きく $3+a$ より小さい整数の個数が 11 個ということである。

区間の長さは $(3+a) - (3-a) = 2a$ である。

整数が 11 個あるためには、区間の長さが少なくとも 11 より大きく、12 より小さい必要がある。

より正確には、

$3-a$ に最も近い整数を $m$ とすると、$m, m+1, ..., m+10$ の11個が存在する。

$3-a < m$ かつ $m-1 \le 3-a$

$3+a > m+10$ かつ $m+11 \ge 3+a$

$2a = (3+a) - (3-a)$ であるから、整数 $x$ が 11 個存在するためには

$2a > 10$ かつ $2a < 12$ であれば良い。

$10 < 2a < 12$

$5 < a < 6$

あるいは、

$x$ の範囲は、$3-a < x < 3+a$ なので、中心は $x=3$ である。

$x=3$ を中心に左右に整数が5個ずつ存在すれば、合計11個になる。

つまり、$x = 3-5 = -2$ と $x = 3+5 = 8$ が含まれていれば良い。

整数がちょうど 11 個ということは、$3-a > -3$ および $3+a < 9$ が成り立てばよい。

つまり、$a < 6$ かつ $a < 6$。

もし $3-a = -3$ ならば $a=6$ で、整数は12個になるので、$3-a > -3$。

もし $3+a = 9$ ならば $a=6$ で、整数は12個になるので、$3+a < 9$。

$a$ が整数で無い場合、$3-a$ と $3+a$ の間にある整数が11個となるためには、

$3+a - (3-a) = 2a$ の値が 10 より大きく、12 より小さい必要がある。

$10 < 2a < 12$ より、$5 < a < 6$ となる。

(3)

$0 < x < 1$ ...①

$|x-a| < 2$ ...②

$-2 < x-a < 2$

$a-2 < x < a+2$

① を満たすどのような $x$ についても ② が満たされるとき

$a-2 \le 0$ かつ $a+2 \ge 1$

$a \le 2$ かつ $a \ge -1$

$-1 \le a \le 2$

① を満たすある $x$ について ② が満たされるとき

$a-2 < 1$ かつ $a+2 > 0$

$a < 3$ かつ $a > -2$

$-2 < a < 3$

3. 最終的な答え

(1)

$a>2$ のとき、$x > \frac{-3}{a-2}$

$a<2$ のとき、$x < \frac{-3}{a-2}$

$a=2$ のとき、すべての実数

(2) $5 < a < 6$

(3)

① を満たすどのような $x$ についても ② が満たされるとき: $-1 \le a \le 2$

① を満たすある $x$ について ② が満たされるとき: $-2 < a < 3$