写像 $f: \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x+y \\ xy \\ 0 \end{bmatrix}$ が線形写像かどうかを判定し、線形写像であれば表現行列を求める。

1. 問題の内容

写像 $f: \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x+y \\ xy \\ 0 \end{bmatrix}$ が線形写像かどうかを判定し、線形写像であれば表現行列を求める。

2. 解き方の手順

線形写像であるためには、次の2つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(u+v) = f(u) + f(v)$ (加法性)

(2) $f(cu) = cf(u)$ (斉次性)

ここで、$u, v$ はベクトル、$c$ はスカラーです。

まず加法性について確認します。

$u = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}$, $v = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}$ とします。

$f(u+v) = f(\begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} (x_1+x_2)+(y_1+y_2) \\ (x_1+x_2)(y_1+y_2) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+x_2+y_1+y_2 \\ x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2 \\ 0 \end{bmatrix}$

$f(u) = \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_1y_1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $f(v) = \begin{bmatrix} x_2+y_2 \\ x_2y_2 \\ 0 \end{bmatrix}$

$f(u)+f(v) = \begin{bmatrix} x_1+y_1+x_2+y_2 \\ x_1y_1+x_2y_2 \\ 0 \end{bmatrix}$

$f(u+v) \neq f(u)+f(v)$ です。

次に斉次性について確認します。

$f(cu) = f(\begin{bmatrix} cx \\ cy \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} cx+cy \\ (cx)(cy) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(x+y) \\ c^2xy \\ 0 \end{bmatrix}$

$cf(u) = c\begin{bmatrix} x+y \\ xy \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(x+y) \\ cxy \\ 0 \end{bmatrix}$

$f(cu) \neq cf(u)$ です。

したがって、この写像は線形写像ではありません。

3. 最終的な答え

線形写像ではない。